线性代数

2024-03-13 18:10| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录初等变换的概念初等行变换初等列变换初等变换矩阵等价性质求解线性方程组三种初等矩阵（对应三种初等变换）性质定理应用

初等变换的概念初等行变换对调两行（对调i、j两行，记作ri↔rj）以数k≠0乘某一行中的所有元素（第i行乘k，记作ri×k）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj）初等列变换把初等行变换定义中的“行”换成“列”，记号中的“r”换成“c”，即可。初等变换矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。初等变换是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。矩阵等价如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B行等价，记作 A ∼ r B A\overset{r}{\sim}B A∼rB。如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B列等价，记作 A ∼ c B A\overset{c}{\sim}B A∼cB。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ∼ B A\sim B A∼B。性质反身性： A ∼ A A\sim A A∼A对称性：若 A ∼ B A\sim B A∼B，则 B ∼ A B\sim A B∼A传递性：若 A ∼ B A\sim B A∼B， B ∼ C B\sim C B∼C，则 A ∼ C A\sim C A∼C 求解线性方程组

{ 2 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 2 , x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 , 4 x 1 − 6 x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 4 , 3 x 1 + 6 x 2 − 9 x 3 + 7 x 4 = 9. \left\{\begin{matrix} 2x_1-x_2-x_3+x_4=2,\\ x_1+x_2-2x_3+x_4=4,\\ 4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4,\\ 3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9. \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x4=2,x1+x2−2x3+x4=4,4x1−6x2+2x3−2x4=4,3x1+6x2−9x3+7x4=9.

增广矩阵（系数与常数项构成的矩阵）进行初等行变换 B = ( A , b ) = [ 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ] B=(A,b)=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 &-2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{bmatrix} B=(A,b)=⎣⎢⎢⎡2143−11−66−1−22−911−272449⎦⎥⎥⎤ ∼ r 1 ↔ r 2 r 3 ÷ 2 [ 1 1 − 2 1 4 2 − 1 − 1 1 2 2 − 3 1 − 1 2 3 6 − 9 7 9 ] = B 1 \underset{r_3\div 2}{\overset{r_1\leftrightarrow r_2}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{bmatrix}=B_1 r3÷2∼r1↔r2⎣⎢⎢⎡12231−1−36−2−11−911−174229⎦⎥⎥⎤=B1 ∼ r 2 − r 3 , r 3 − 2 r 1 r 4 − 3 r 1 [ 1 1 − 2 1 4 0 2 − 2 2 0 0 − 5 5 − 3 − 6 0 3 − 3 4 − 3 ] = B 2 \underset{r_4-3r_1}{\overset{r_2-r_3,r_3-2r_1}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3 \end{bmatrix}=B_2 r4−3r1∼r2−r3,r3−2r1⎣⎢⎢⎡100012−53−2−25−312−3440−6−3⎦⎥⎥⎤=B2 ∼ r 2 ÷ 2 , r 3 + 5 r 2 r 4 − 3 r 2 [ 1 1 − 2 1 4 0 1 − 1 1 0 0 0 0 2 − 6 0 0 0 1 − 3 ] = B 3 \underset{r_4-3r_2}{\overset{r_2\div 2,r_3+5r_2}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}=B_3 r4−3r2∼r2÷2,r3+5r2⎣⎢⎢⎡10001100−2−100112140−6−3⎦⎥⎥⎤=B3 ∼ r 3 ↔ r 4 r 4 − 2 r 3 [ 1 1 − 2 1 4 0 1 − 1 1 0 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ] = B 4 \underset{r_4-2r_3}{\overset{r_3\leftrightarrow r_4}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B_4 r4−2r3∼r3↔r4⎣⎢⎢⎡10001100−2−100111040−30⎦⎥⎥⎤=B4 ∼ r 1 − r 2 r 2 − r 3 [ 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ] = B 5 \underset{r_2- r_3}{\overset{r_1- r_2}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B_5 r2−r3∼r1−r2⎣⎢⎢⎡10000100−1−100001043−30⎦⎥⎥⎤=B5B5对应方程组 { x 1 − x 3 = 4 , x 2 − x 3 = 3 , x 4 = − 3 \left\{\begin{matrix} x_1-x_3=4,\\ x_2-x_3=3,\\ x_4=-3 \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧x1−x3=4,x2−x3=3,x4=−3取x3为自由未知数，并令x3=c，c为任意常数，即得 x = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ c + 4 c + 3 c − 3 ] = c [ 1 1 1 0 ] + [ 4 3 0 − 3 ] x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c+4\\ c+3\\ c\\ -3 \end{bmatrix}=c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4\\ 3\\ 0\\ -3 \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡c+4c+3c−3⎦⎥⎥⎤=c⎣⎢⎢⎡1110⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎡430−3⎦⎥⎥⎤B4、B5为行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。B5还称为行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变为一种形状更简单的矩阵，称为标准形：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0. B 5 = [ 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ] ∼ c 3 ↔ c 4 , c 4 + c 1 + c 2 c 5 − 4 c 1 − 3 c 2 + 3 c 3 [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] = F B_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\underset{c_5-4c_1-3c_2+3c_3}{\overset{c_3\leftrightarrow c_4,c_4+c_1+c_2}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=F B5=⎣⎢⎢⎡10000100−1−100001043−30⎦⎥⎥⎤c5−4c1−3c2+3c3∼c3↔c4,c4+c1+c2⎣⎢⎢⎡10000100001000000000⎦⎥⎥⎤=F对于m×n的矩阵A，总可经过初等变换把它化为标准形 F = [ E r O O O ] m × n F=\begin{bmatrix} E_r&O\\ O&O \end{bmatrix}_{m \times n} F=[ErOOO]m×n 此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。三种初等矩阵（对应三种初等变换）

由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

把单位阵中第j，j两行（列）对调，得初等矩阵 E ( i , j ) = [ 1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 1 ⋱ 1 ] E(i,j)=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & & \cdots & & 1 & & & \\ & & & & 1 & & & & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\ & & & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & \cdots & & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{bmatrix} E(i,j)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱10⋮11⋯⋱⋯11⋮01⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤以数k≠0乘单位阵的第i行（列），得初等矩阵 E ( i ( k ) ) = [ 1 ⋱ 1 k 1 ⋱ 1 ] E(i(k))=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & k & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} E(i(k))=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1k1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上，得初等矩阵 E ( i j ( k ) ) = [ 1 ⋱ 1 ⋯ k ⋱ ⋮ 1 ⋱ 1 ] E(ij(k))=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} E(ij(k))=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1⋯⋱k⋮1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ 性质设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pi，使A = P1P2…Pi推论：方阵A可逆的充分必要条件是 A ∼ r E A\overset{r}{\sim}E A∼rE 定理

设A与B为m×n矩阵，那么：

A ∼ r B A\overset{r}{\sim}B A∼rB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使 PA = B A ∼ c B A\overset{c}{\sim}B A∼cB的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使 AQ = B A ∼ B A\sim B A∼B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使 PAQ = B 应用求定理1中的P { P A = B , P E = P ⇔ P ( A , E ) = ( B , P ) ⇔ ( A , E ) ∼ r ( B , P ) \left\{\begin{matrix} PA=B,\\ PE=P \end{matrix}\right.\Leftrightarrow P(A,E)=(B,P)\Leftrightarrow (A,E)\overset{r}{\sim}(B,P) {PA=B,PE=P⇔P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼r(B,P) 因此，如果对矩阵（A，E）作初等行变换，那么，当把A变为B时，E就变为P。证明A可逆，并求A-1 初等行变换把（A，E）变成（F，P），F是A的行最简形，如果F = E，则A可逆，因为PA = E，所以P = A-1。【例】 A = [ 0 − 2 1 3 0 − 2 − 2 3 0 ] A=\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1\\ 3 & 0 & -2\\ -2 & 3 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡03−2−2031−20⎦⎤ ( A , E ) = [ 0 − 2 1 1 0 0 3 0 − 2 0 1 0 − 2 3 0 0 0 1 ] ∼ r 3 × 3 , r 3 + 2 r 2 r 1 ↔ r 2 [ 3 0 − 2 0 1 0 0 − 2 1 1 0 0 0 9 − 4 0 2 3 ] (A,E)=\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1&1&0&0\\ 3 & 0 & -2&0&1&0\\ -2 & 3 & 0&0&0&1 \end{bmatrix}\underset{r_1\leftrightarrow r_2}{\overset{r_3\times 3,r_3+2r_2}{\sim}}\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2&0&1&0\\ 0 & -2 & 1&1&0&0\\ 0 & 9 & -4&0&2&3 \end{bmatrix} (A,E)=⎣⎡03−2−2031−20100010001⎦⎤r1↔r2∼r3×3,r3+2r2⎣⎡3000−29−21−4010102003⎦⎤ ∼ r 3 × 2 r 3 + 9 r 2 [ 3 0 − 2 0 1 0 0 − 2 1 1 0 0 0 0 1 9 4 6 ] ∼ r 1 + 2 r 3 r 2 − r 3 [ 3 0 0 18 9 12 0 − 2 0 − 8 − 4 − 6 0 0 1 9 4 6 ] ∼ r 1 ÷ 3 r 2 ÷ ( − 2 ) [ 1 0 0 6 3 4 0 1 0 4 2 3 0 0 1 9 4 6 ] \underset{r_3+9r_2}{\overset{r_3\times 2}{\sim}}\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2&0&1&0\\ 0 & -2 & 1&1&0&0\\ 0 & 0 & 1&9&4&6 \end{bmatrix}\underset{r_2-r_3}{\overset{r_1+2r_3}{\sim}}\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0&18&9&12\\ 0 & -2 & 0&-8&-4&-6\\ 0 & 0 & 1&9&4&6 \end{bmatrix}\underset{r_2\div (-2)}{\overset{r_1\div 3}{\sim}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0&6&3&4\\ 0 & 1 & 0&4&2&3\\ 0 & 0 & 1&9&4&6 \end{bmatrix} r3+9r2∼r3×2⎣⎡3000−20−211019104006⎦⎤r2−r3∼r1+2r3⎣⎡3000−2000118−899−4412−66⎦⎤r2÷(−2)∼r1÷3⎣⎡100010001649324436⎦⎤ 因 A ∼ r E A\overset{r}{\sim}E A∼rE，故A可逆，且 A − 1 = [ 6 3 4 4 2 3 9 4 6 ] A^{-1}=\begin{bmatrix} 6&3&4\\ 4&2&3\\ 9&4&6 \end{bmatrix} A−1=⎣⎡649324436⎦⎤求解矩阵方程AX = B 设可逆矩阵P使PA = F为行最简形，则P（A，B）=（F，PB），因此对矩阵（A，B）作初等行变换，把A变成F，同时把B变成PB，若F = E，则A可逆，且P = A-1，这时所给方程有唯一解 X = PB = A-1B

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