6.2.3 向量的数乘运算

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6.2.3　向量的数乘运算课标解读 课标要求 核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则. 2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点) 3.理解两个平面向量共线的含义.(难点) 1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养. 2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力. 3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少 问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少 1.向量的数乘定义 实数λ与向量a的积是一个①向量记法 λa长度 |λa|=|λ||a|方向 λ>0 λa的方向与a的方向②相同λ几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ特别提醒　　当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.　　思考1:实数与向量能否进行加减运算 提示　不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系 提示　两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律.3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量.(2)对于任意向量a,b以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系 提示　在形式上类似.　　4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b=λa.思考4:λ与向量a,b的方向有什么关系 提示　若λ>0,则a与b同向;若λ探究一　向量的线性运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9;②-2;③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b表示向量m,n.思维突破　　向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.1-1　化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).探究二　共线向量定理及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例2　设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.思维突破　　用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b=λa(a、b为这三点构成的任意两个向量).(2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1　如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在线段BD上,且有BN=BD,求证:M,N,C三点共线.探究三　向量线性运算的应用　　例3　(易错题)已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.易错点拨　　在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1　已知四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知=a,=b,试用a,b表示和.3-2　设O为△ABC内任意一点,且满足+2+3=0,若D,E分别是BC,CA的中点.(1)求证:D,E,O三点共线;(2)求的值.1.已知非零向量a,b满足a=4b,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a,b的方向相同D.a,b的方向相反2.(多选题)下列向量中,a,b一定共线的是(　　)A.a=2e,b=-2eB.a=e1-e2,b=-2e1+2e2C.a=4e1-e2,b=e1-e2D.a=e1+e2,b=2e1-2e23.已知向量a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若a∥b,则(　　)A.e1=0 B.e2=0C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1=0或e2=04.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=　　　　,y=　　　　. 5.已知两个非零向量e1、e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A、B、D三点共线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知 ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且=e1,=e2,试用e1,e2表示,.　如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示、、.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为(　　)A.2a-b B.2b-aC.a-b D.b-a2.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么=(　　)A.a+b B.a-bC.a-b D.-a+b3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则(　　)A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于(　　)A. B. C.- D.-5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则=(　　)A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=　　　　,y=　　　　. 7.若|a|=3,|b|=2,b与a反向,则a=　　　　b. 8.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为BD,AB,AC,CD的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.9.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=(　　)A.2 B.3 C.4 D.510.(多选题)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x可以是(　　)A.- B.- C.0 D.-11.若对于△ABC内部的一点O,存在实数λ使得+=λ(+)成立,则△OBC与△ABC的面积比为　　　　. 12.如图,四边形ABCD是一个梯形,∥且||=2||,M,N分别是DC,AB的中点,已知=e1,=e2,试用e1,e2表示下列向量:=　　　　;=　　　　. 13.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.14.平面内有一个△ABC和一点O(如图),线段OA,OB,OC的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB的中点分别为L,M,N,设=a,=b,=c.(1)试用a,b,c表示向量,,;(2)证明:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.14 / 156.2.3　向量的数乘运算课标解读 课标要求 核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则. 2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点) 3.理解两个平面向量共线的含义.(难点) 1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养. 2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力. 3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少 答案　设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少 答案　-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义 实数λ与向量a的积是一个①向量记法 λa长度 |λa|=|λ||a|方向 λ>0 λa的方向与a的方向②相同λ几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ特别提醒　　当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.　　思考1:实数与向量能否进行加减运算 提示　不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系 提示　两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律.3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量.(2)对于任意向量a,b以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系 提示　在形式上类似.　　4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b=λa.思考4:λ与向量a,b的方向有什么关系 提示　若λ>0,则a与b同向;若λ探究一　向量的线性运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9;②-2;③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b表示向量m,n.解析　(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.②原式=-a-b=a+b-a-b=0.③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)a=3m+2n①,b=m-3n②,则①×3+②×2得3a+2b=11m,即m=a+b.①-②×3得a-3b=11n,即n=a-b.思维突破　　向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.1-1　化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析　(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=×(4a+16b-16a+8b)=×(-12a+24b)=-2a+4b.(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb.探究二　共线向量定理及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例2　设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.解析　(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴、共线,又∵与有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.思维突破　　用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b=λa(a、b为这三点构成的任意两个向量).(2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1　如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在线段BD上,且有BN=BD,求证:M,N,C三点共线.证明　设=a,=b,则=+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b,=+=+=a+b=3×=3,∴,共线,又与有公共点M,∴M,N,C三点共线.探究三　向量线性运算的应用　　例3　(易错题)已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.解析　如图所示,取AB的中点P,连接EP,FP.在△ABC中,EP是中位线,所以==a.在△ABD中,FP是中位线,所以==-=-b.在△EFP中,=+=-+=-·a-b=-(a+b).易错点拨　　在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1　已知四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知=a,=b,试用a,b表示和.解析　解法一:如图,连接CN,易知AN与DC垂直且相等,所以四边形ANCD是平行四边形.=-=-b,又因为++=0,所以=--=b-a,=-=+=-b+a.解法二:因为+++=0,所以a+++(-b)=0,所以=b-a,又因为在四边形ADMN中有 +++=0,所以b+a++=0,所以=a-b.3-2　设O为△ABC内任意一点,且满足+2+3=0,若D,E分别是BC,CA的中点.(1)求证:D,E,O三点共线;(2)求的值.解析　(1)证明:如图,+= 2,+=2,∴+2+3=(+)+2(+)=2(2+)=0,∴2+=0,∴与共线,又与有公共点O,∴D,E,O三点共线.(2)由(1)知2||=||,∴S△AOC=2S△COE=2×S△CDE=2×××S△ABC=S△ABC,∴=3.1.已知非零向量a,b满足a=4b,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a,b的方向相同D.a,b的方向相反答案　C　∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b一定共线的是(　　)A.a=2e,b=-2eB.a=e1-e2,b=-2e1+2e2C.a=4e1-e2,b=e1-e2D.a=e1+e2,b=2e1-2e2答案　ABC　A中,b=-a,则a,b共线;B中,b=-2a,则a,b共线;C中,a=4b,则a,b共线;D中,a,b不共线.3.已知向量a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若a∥b,则(　　)A.e1=0 B.e2=0C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1=0或e2=0答案　D4.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=　　　　,y=　　　　. 答案　;解析　由已知得解得x=y=.5.已知两个非零向量e1、e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A、B、D三点共线.证明　∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,∴,共线.又∵和有公共点A,∴A、B、D三点共线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知 ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且=e1,=e2,试用e1,e2表示,.审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理.联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算.解:解法一:设=a,则=①　　　　, =+=e1-a,=e1-a.又==a,由+=,得a+e1-a=e2,解得a=②　　　　　　　　　　. 由=-,=e1-a,得=③　　　　. 解法二:设=m,=n,则=m,=-n.由+=,+=,得④　　　　　　　, 得m=(2e2-e1),n=⑤　　　　　　　, 即=e2-e1,=-e1+e2.解法三:如图所示,BC的延长线与AL的延长线交于点E,则△DLA≌△CLE.从而=2,==,=,由=-,得=2e2-e1,即=⑥　　　　　　　　. 同理可得=⑦　　　　　　　　. 思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案　①a　②e2-e1,即=e2-e1③-e1+e2④　⑤(-2e1+e2)⑥e2-e1　⑦-e1+e2　如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示、、.解析　===(-)=(a-b)=a-b,∴=+=b+a-b=a+b.∵==,∴=+=+==(+)=a+b,=-=a+b-a-b=a-b.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为(　　)A.2a-b B.2b-aC.a-b D.b-a答案　B2.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么=(　　)A.a+b B.a-bC.a-b D.-a+b答案　A3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则(　　)A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线答案　B4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于(　　)A. B. C.- D.-答案　A　解法一:由=2,可得-=2(-) =+,所以λ=.解法二:=+=+=+(-)=+,所以λ=.5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则=(　　)A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈答案　A　因为P是对角线AC上的一点(不包括端点A、C),所以存在λ∈(0,1),使得=λ,于是=λ(+),λ∈(0,1).6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=　　　　,y=　　　　. 答案　3;-4解析　因为a与b不共线,所以解得7.若|a|=3,|b|=2,b与a反向,则a=　　　　b. 答案　-解析　因为b与a反向,所以a=λb,λ所以λ=-,所以a=-b.8.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为BD,AB,AC,CD的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.证明　∵F,G分别是AB,AC的中点,∴=.同理,=.∴=.∴FG=EH,FG∥EH,∴四边形EFGH为平行四边形.9.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=(　　)A.2 B.3 C.4 D.5答案　B　由++=0可知,M为△ABC的重心,故=×(+)=(+),所以+=3,即m=3.10.(多选题)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x可以是(　　)A.- B.- C.0 D.-答案　BD　当点O与点C重合时,=0+(1-0)·,此时x=0;当点O与点D重合时,=-+,此时x=-.因为点O在线段CD上(与点C、D不重合),所以-11.若对于△ABC内部的一点O,存在实数λ使得+=λ(+)成立,则△OBC与△ABC的面积比为　　　　. 答案　1∶2解析　如图所示,设D,E分别是AB,AC的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则+==2,+==2,因为+=λ(+),所以=λ,所以点O在线段DE上.又因为D,E分别是AB,AC的中点,所以△OBC与△ABC的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD是一个梯形,∥且||=2||,M,N分别是DC,AB的中点,已知=e1,=e2,试用e1,e2表示下列向量:=　　　　;=　　　　. 答案　e2+e1;e1-e2解析　因为∥,||=2||,所以=2,=.所以=+=e2+e1.=++=--+=-e1-e2+e1=e1-e2.13.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.解析　(1)证明:因为=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,即=λ,又λ∈R,λ≠1,λ≠0,且,有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则,同向且||>||(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC和一点O(如图),线段OA,OB,OC的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB的中点分别为L,M,N,设=a,=b,=c.(1)试用a,b,c表示向量,,;(2)证明:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.解析　(1)因为=a,=(b+c),所以=-=(b+c-a).同理可得=(a+c-b),=(a+b-c).(2)证明:设线段EL的中点为P1,则=(+)=(a+b+c).设FM,GN的中点分别为P2,P3,同理可求得=(a+b+c),=(a+b+c),所以==,即线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.14 / 15

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