【线性代数】向量点乘与叉乘含义与计算方式

2024-07-01 14:12| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、点乘 → 内积 / 数量积

设 $\vec{a}=[a_1, a_2, ... , a_n]$ ， $\vec{b}=[b_1, b_2,...,b_n]$

1、代数形式

$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

注：要求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 必为同型向量

2、几何形式

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

几何意义：表征或计算两个向量间的夹角，及 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影

$\vec{a}\cdot\vec{b}0$ ：夹角在0°到90°之间

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ：相互垂直，即正交

$\vec{a}\cdot\vec{b}0$ ：夹角在90°到180°之间

二、叉乘 → 向量积 / 外积 / 叉积

设 $\vec{a}=[x_1\ y_1\ z_1]$ ， $\vec{b}=[x_2\ y_2\ z_2]$

计算公式

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}\mathrm{i}&\mathrm{j}&\mathrm{k}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})i-(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1})j+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})k$

$i=(1,0,0)\;j=(0,1,0)\;k=(0,0,1)$

简化后：

$a\times b=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},-(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}),x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})$

几何意义：

（1）二维：求得由向量a和向量b构成的平行四边形的面积

（2）三维：求得第三个垂直于a，b的向量，即法向量

方向判定：右手法则

$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}$ 情况下，四指方向由 $\vec{a}$ 指向 $\vec{b}$ ，拇指方向即为 $\vec{c}$ 的方向

点乘与叉乘的区别

（1）点乘结果是一个标量，叉乘结果是一个向量。

（2）点乘满足交换律，而叉乘满足反交换律。

（3）点乘用于计算向量间的夹角、投影和长度；叉乘用于计算法向量、面积和判断线性

方向。

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