向量：向量乘法（标量积、向量积）和向量插值

在本系列上一篇《【几何系列】复数基础与二维空间旋转》讲述了复数和二维旋转之间的联系。

在本文，向量是线性代数中的基本知识，本文只会侧重它们在计算机图形学和旋转几何学中的要点。

向量（vector）常用粗体来表示，与标量相区分（不过我为了方便，仅在此处加粗体）。例如：

$$\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\ 3\end{bmatrix}$$

其中 2 和 3 都称为向量 $\mathbf{u}$ 的分量（component）。向量还可以分为列向量和行向量，列向量常常是推荐的表示方法。

向量作为一种代数元素，在计算机图形学中常用于表示空间中的有向线段和点。

如下图所示：

利用向量的表示，有向线段 $u$ 可以通过 $A$ 和 $B$ 两点相减计算得到：

$$\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\ 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\ 3\end{bmatrix}$$

可以看到，对于有向线段 $u$ 来说，它的向量表示保存了两条信息：方向和长度。而对于坐标点 $A$ 和 $B$ 来说，实际上也隐含了两条类似的信息：原点到坐标点的方向和原点到坐标点的距离长度。方向通过向量各分量的比例而确定，而长度则是通过向量大小（magnitude）确定。

向量大小写作 $\left | u \right |$，对分量应用毕达哥拉斯定理（国内称勾股定理）计算得到：

$$\left | u \right |=\sqrt{x^2+y^2}$$

其中 $x$ 和 $y$ 表示 $u$ 的两个分量。

前面考虑的是二维平面，如果推广到三维，则可以用向量表示出三维空间的点或有向线段：

$$u=\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}$$

其大小为：

$$\left | u \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

前面说到，向量包含方向和大小的信息。那如果我们只关注方向信息呢？自然会想到把大小固定下来，进而引入了单位向量。

单位向量就是大小为 1 的向量，把普通向量转换为单位向量的过程称为规范化或标准化（normalization）。

向量的规范化很容易，将向量除以它的大小即可。

$$\hat{u}=\frac{u}{\left | u \right |}$$

其中 $\hat{u}$ 是 $u$ 所对应的单位向量。

笛卡尔向量是特殊的单位向量，对应于笛卡尔坐标系中的 x/y/z 轴。即：

$$i=[1,0,0]^T,j=[0,1,0]^T,k=[0,0,1]^T$$

有两种向量乘法的定义，一种是两个向量相乘得到一个标量，称为标量积，又称点乘、点积、数量积；另一种是两个向量相乘得到一个向量，称为向量积，又称叉乘、叉积、矢量积。

标量积通过两个向量相乘得到一个标量。标量积的几何定义为：

$$r\cdot s=\left | r \right |\left | s \right |cos\beta $$

简单来说，就是向量 $r$ 对 $s$ 作投影，得到 $rcos\beta$，再将投影的大小 $\left | r \right |cos\beta$ 和 $s$ 向量的大小 $\left | s \right |$ 相乘（可以交换，不管哪个向量对另一个向量作投影结果都是相同的）。

标量积的设计是有道理的。

一方面，标量积在一定程度衡量了两个向量方向的“相似性”。固定大小的两个向量，夹角越小，方向越接近，相似度越高。

另一方面，标量积既然得到的是一个标量，向量又是标量的一种推广，我们自然希望它和普通标量的乘法统一起来。

与标量不同的是，向量具有方向性。那么在设计标量积的时候，一些显然需要考虑的场景是：

利用以上特殊场景，当面对更普遍的情况时，对向量进行正交分解，不难得到 $r\cdot s=\left | r \right |\left | s \right |cos\beta $ 的定义。

当然，这只是定义而已，前面这些考虑都只是为了帮助理解这个定义的几何含义。

标量积还有它的代数定义：

$$r\cdot s=r_xs_x+r_ys_y+r_zs_z$$

即两个向量的各个分量分别相乘，再相加。

标量积的几何定义和代数定义在笛卡尔坐标系上是等价的。即：从几何定义出发可以推导出代数定义，而从代数定义也可以推导出几何定义。

这两种定义给了我们两条解决问题的路径，显然，利用数量积作为桥梁，求两个向量的夹角也变得容易起来：

$$\beta =arccos(\frac{r_xs_x+r_ys_y+r_zs_z}{\left | r \right |\left | s \right |})$$

马里奥赛车里面的标量积应用：

要获得最大程度的加速效果，开车的方向要与加速板的方向尽可能一致，对加速板方向的投影大小要尽可能大。

向量积通过两个向量相乘得到另一个向量。

向量积定义为：

$$\left |a  \right |\times \left | b \right |=\left | t \right |$$

其中 $t$ 的向量大小为：

$$\left | t \right |=\left |a  \right | \left | b \right |sin\theta$$

由于向量积得到的一个向量，那么向量就会有方向和大小两条信息。

对于向量 $t$ 的大小，如上图所示，向量积大小等于两个向量张成的平行四边形的面积。该面积衡量了两个向量的差异性（difference）。如果 $a$ 和 $b$ 是垂直（正交）的，两者的差异性最大，在两个向量大小不变的情况此时面积最大（$sin\theta=1$）；如果 $a$ 和 $b$ 是共线的，两者的差异性最小，此时面积等于 0。

对于向量 $t$ 的方向，考虑的是这样的问题：两个向量虽然张成的面积一样，但是方向却可能不同，只考虑张成的平行四边形面积大小会丢失掉这样的差异。例如笛卡尔向量，如果只考虑面积大小，$i\times j$ 和 $i\times k$ 得到的结果是完全一样的，但是 $j$ 和 $k$ 却是不同的方向。因此为了添加这个方向信息，如下图所示，通常采用右手法则（一种约定，区别于左手法则），规定了向量积 $t$ 的方向，即垂直于 $a$ 和 $b$ 张成的平面。于是 $i\times j$ 和 $i\times k$ 虽然向量大小相同，向量方向却不同。

向量积不满足交换律，但满足反对称关系：

根据这种关系，可以很容易知道笛卡尔向量的计算规律：

$$i\times j=k$$

$$j\times i=-k$$

$$j\times k=i$$

$$k\times j=-i$$

$$k\times i=j$$

$$i\times k=-j$$

我们还知道同一向量的向量积为 0（因为夹角 $\theta$ 为 0）：

$$i\times i=0$$

$$j\times j=0$$

$$k\times k=0$$

基于以上关系，我们可以推导出向量积的代数计算公式。

已知两个向量 $a=a_xi+a_yj+a_zk$ 和 $b=b_xi+b_yj+b_zk$，计算：

\begin{align*}a\times b &= (a_xi+a_yj+a_zk)\times(b_xi+b_yj+b_zk)\\ &=a_xb_xi\times i + a_yb_yj\times j+a_zb_zk\times k+a_xb_yi\times j+a_xb_zi\times k+a_yb_xj\times i+a_yb_zj\times k+a_zb_xk\times i+a_zb_yk\times j\\ &=0+0+0+a_xb_yk-a_xb_zj-a_yb_xk+a_yb_zi+a_zb_xj-a_zb_yi\\ &=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k\\ &=\begin{vmatrix}a_y & a_z\\ b_y & b_z\end{vmatrix}i-\begin{vmatrix}a_x & a_z\\ b_x & b_z\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_x & a_y\\ b_x & b_y\end{vmatrix}k \\ &=\begin{vmatrix}i & j & k\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\end{vmatrix}\end{align*}

最后两步使用了行列式进行整理。最后，我们把向量积的定义和代数计算公式结合起来就是：

\begin{align*}\mathbf{a}\times \mathbf{b} &= \left | \mathbf{a} \right |\left | \mathbf{b} \right |sin\theta \hat{\mathbf{t}} \\ &=\begin{vmatrix}i & j & k\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a_y & a_z\\ b_y & b_z\end{vmatrix}i-\begin{vmatrix}a_x & a_z\\ b_x & b_z\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_x & a_y\\ b_x & b_y\end{vmatrix}k\end{align*}

$\hat{\mathbf{t}}$ 表示满足右手定则的单位法向量。

这里仅讨论两种向量插值技术：线性插值和球形插值。线性插值的路径是直线，球形插值的路径是圆形或者曲线。

线性插值非常直观，已知两个向量，给这两个向量各分配一个权重相加，权重和为 1。令插值得到的向量为 $v(t)$，则

$$v(t)=(1-t)v_1+tv_2=v_1+t(v_2-v_1)$$

其中 $t\in [0,1]$，当 $t=0$ 时，$v(t)=v_1$，当 $t=1$ 时，$v(t)=v_2$。

根据上式中的第二个等号，可以利用几何的方法推断出插值的路径：

$(v_2-v_1)$ 就是 $v_1$ 箭头端点指向 $v_2$ 箭头端点的向量，而 $t(v_2-v_1)$ 的箭头端点就在这个向量表示的线段上移动。通过与 $v_1$ 相加后发现，插值出来的 $v(t)$ 的箭头端点也在这条线段上，这就是线性插值的路径。

通过图示我们可以看到，这种线性插值在当两个向量大小相等时，无法保证插值向量的大小不变，在很多应用中我们其实希望这个向量大小是稳定的。比如 $v_1$ 和 $v_2$ 假设表示一条手臂在 $t_1$ 时刻和 $t_2$ 时刻的位置状态的话，我们希望插值得到 $t_1$ 和 $t_2$ 时刻之间的手臂的位置状态，如果用线性插值，我们会发现这个本来长度固定不变的手臂，插值后长度竟然发生变化了。

这就引入了球形插值。

球形插值的推导过程暂且不表，但是其核心思想是加入了这样的限制条件：两个单位向量插值出来必然也是单位向量，进而保证了我们希望长度稳定的需求。

如果两个向量大小相同，它的插值路径是圆形；如果向量大小不同，则插值路径是曲线。一些例子：

插值公式如下：

$$v(t)=\frac{sin(1-t)\theta}{sin\theta}v_1+\frac{sint\theta}{sin\theta}v_2$$

其中，$t\in [0,1]$，当 $t=0$ 时，$v(t)=v_1$，当 $t=1$ 时，$v(t)=v_2$。而 $\theta$ 是 $v_1$ 和 $v_2$ 的夹角，可以通过点乘的公式计算余弦。