间向量的坐标表示、运算及应用一

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8

．

7

空间向量的坐标表示、运算及应用

1

．

空间向量基本定理

如果三个向量

a

，

b

，

c

不共面，那么对空间任一向量

p

，存在有序实数组

____________

，

使得

__________________

．其中，

{

a

，

b

，

c

}

叫做空间的一个

________

，

a

，

b

，

c

都叫做

__________

．

2

．

空间直角坐标系

(1)

如果空间的一个基底的三个基向量

____________

，且长都为

______

，则这个基底叫做单位正交基底，常用

{

i

，

j

，

k

}

来表示

(

其中

|

i

|

＝

|

j

|

＝

|

k

|

＝

1)

．

(2)

在空间选定一点

O

和一个单位正交基底

{

}

i

，

j

，

k

，以

O

为原点，分别以

i

，

j

，

k

的方向为正方向建立三条

数轴：

__________________________

，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系

Oxyz

，点

O

叫做原点，

向量

i

，

j

，

k

都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为

xOy

平面、

yOz

平面、

zOx

平面．

(3)

建系时，一般使∠

xOy

＝

135°

(

或

45°

)

，∠

yOz

＝

90°

，建立

____

手直角坐标系．

(4)

在空间直角坐标系中有一点

A

，

若

OA

→

＝

x

i

＋

y

j

＋

z

k

，

则有序实数组

____________

叫做点

A

在此空间直角坐标

系中的坐标，

记作

______________

．

其中

x

叫做点

A

的横坐标，

y

叫做点

A

的纵坐标，

z

叫做点

A

的

________

．

3

．

空间向量的直角坐标运算

设

a

＝

(

x

1

，

y

1

，

z

1

)

，

b

＝

(

x

2

，

y

2

，

z

2

)

，

a

，

b

是非零向量，则

(1)

向量加法：

a

＋

b

＝

__________________

．

(2)

向量减法：

a

－

b

＝

__________________

．

(3)

数乘：

λ

a

＝

________________

．

(4)

数量积：

a

·

b

＝

________________

．

(5)

平行：

a

∥

b

(

b

≠

0)

⇔

_________

⇔

x

1

＝

λx

2

，

________

，

__________

．

(6)

垂直：

a

⊥

b

⇔

__________

⇔

________________

．

(7)

向量

a

的模

|

|

a

＝

__________

＝

____________

．

(8)

向量

a

与

b

夹角公式：

cos

〈

a

，

b

〉＝

a

·

b

|

a

||

b