向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义

概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

内积（点乘）的几何意义包括：

有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量c：

根据三角形余弦定理（这里a、b、c均为向量，下同）有：

根据关系c=a-b有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a∙b=0→ 正交，相互垂直 a∙b