一文讲透任意度量空间任意多个向量的外积（叉乘），让人成为高手

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一文讲透任意度量空间任意多个向量的外积（叉乘），让人成为高手

2024-05-22 06:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

本篇文章是向量外积的升华，终结了前代数学家称向量外积不能在高维空间上广泛定义的说法。堪比荆山之玉、灵蛇之珠，是在前代数学家基础之上作了一个重大创新与突破。欢迎品阅、建议收藏。

本文将向量外积推广到任意维度的任意度量空间的任意多个向量上去，并提出几个关于矩阵的定理，从代数和几何两个层面证明向量外积的合理性以及几何意义。

二维空间上的向量的外积度量矩阵为单位矩阵的

维空间中

个向量的外积 本人悟出的两个重要定理

维空间中

个向量的外积的定义向量外积的性质度量矩阵为单位矩阵的

维空间中

个向量的外积的几何证明度量矩阵为单位矩阵的

维空间中

个向量的外积代数证明度量矩阵为单位矩阵的

维空间中

个向量的外积在复数域上的推广及证明向量外积在任意度规矩阵、任意维空间的任意多个向量上的推广及证明更多展望

本人已经将向量外积推广到任意维空间、任意度规矩阵的任意多个向量上去。论文翻译版参见

数学达人上官正申：向量外积（叉积、叉乘）在任意度量（度规）矩阵、任意维数空间上任意多个向量上的推广（前人基础之上的巨大突破）41 赞同 · 21 评论文章

论文英文版原文参见

https://arxiv.org/abs/2206.13809arxiv.org/abs/2206.138091. 二维空间上的向量外积

为了彻底讲清楚这些公式，我们需要先了解外微分，在了解外微分之前我们有必要了解向量叉乘即向量外积。二维空间上的向量外积的直接证明与直观解释详见

数学达人上官正申：一文讲透二维空间中向量的外积（叉乘），让人成为高手

不过我们这里还是有必要简单过一下重要内容。

在度规矩阵为单位矩阵即 $G=I_{2}$ 的维欧几里得空间中，由 $X_{1}=(X_{11}， X_{21})^{T}\in \mathbb{R}^{2}$ 和 $X_{2}=(X_{12}， X_{22})^{T}\in \mathbb{R}^{2}$ 组成的平行四边形的面积为

$\begin{eqnarray} S=||X_{1}||X_{2}|\sin\theta|=|\sqrt{x_{11}^{2}+x_{21}^{2}}\sqrt{x_{11}^{2}+x_{21}^{2}}\sin\theta| \end{eqnarray}$

其中下标 ``T" 表示转置操作。其中 $|\cdot|$ 表示向量的长度或数字的绝对值， $\theta=X_{1}， X_{2}$ 是从 $X_{1}$ 到 $X_{2}$ 的逆时针方向的角。现在我们定义维欧氏空间中维向量的乘积为

$\begin{eqnarray} X_{1}\times X_{2}=|X_{1}||X_{2}|\sinX_{1}, X_{2} \end{eqnarray}$

显然，当我们对向量进行平行四边形分解时，即 $\forall ~Y_{1}， Y_{2}， Y_{3}， Y_{4}\in\mathbb{R}^{2}$ ，我们有

$\begin{eqnarray} (Y_{1}+Y_{2})\times(Y_{3}\times Y_{4})=Y_{1}\times Y_{3}+Y_{1}\times Y_{4}+Y_{2}\times Y_{3}+Y_{2}\times Y_{4} \end{eqnarray}$

满足乘法分配律，因此我们有

$\begin{eqnarray} && X_{1}\times X_{2}=[(x_{11}, 0)^{T}+(0, x_{21})^{T}]\times[(x_{12}, 0)^{T}+(0, x_{22})^{T}] \nonumber\\ && (x_{11}, 0)^{T}\times(x_{12}, 0)^{T}+(x_{11}, 0)^{T}\times(0, x_{22})^{T}+(0, x_{21})^{T}\times(x_{12}, 0)^{T} \nonumber\\ && +(0, x_{21})^{T}\times (0, x_{22})^{T} \nonumber\\ && =x_{11}x_{12}\sin0+x_{11}x_{22}\sin\frac{\pi}{2}+x_{12}x_{21}\sin(-\frac{\pi}{2})+x_{21}x_{22}\sin0 \nonumber\\ && =x_{11}x_{22}-x_{21}x_{12} = \left| \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \\ \end{array} \right|, \end{eqnarray}$

所以对于 n=2 的情况行列式的绝对值等于平行四边形的面积。

显然，外积也满足反对称，即 $\forall ~Y_{1}， Y_{2}\in\mathbb{R}^{2}$ ,

$\begin{eqnarray} Y_{1}\times Y_{2}=-Y_{2}\times Y_{1} \end{eqnarray}$

两个向量的外积的绝对值实际上就是两个向量张成的平行四边行的面积，也就是两个向量的模长乘以它们的夹角的正弦值，其实向量外积就是正弦公式。由于向量外积的运算满足乘法分配律，因此我们定义逆时针的外积为正，顺时针为负。其实二维空间上的向量外积就是两个向量组成矩阵的行列式，其绝对值表示平行四边形的面积（高维空间也成立），下文我们会证明。

2. 度量矩阵为单位矩阵的

维空间中

个向量的外积

同样，利用分配律和反对称，我们可以求出由

$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} X_{1}=(x_{11}, x_{21}, \cdots, x_{n1})^{T}\in\mathbb{R}^{n} \\ X_{2}=(x_{12}, x_{22}, \cdots, x_{n2})^{T}\in\mathbb{R}^{n} \\ \vdots \\ X_{n}=(x_{1n}, x_{2n}, \cdots, x_{nn})^{T}\in\mathbb{R}^{n} \end{array} \end{eqnarray}$

平行多面体张成的体积

$\begin{eqnarray} V=|\sum\limits_{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}}(-1)^{\tau(i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n})}x_{1i_{1}}x_{2i_{2}}\cdots x_{ni_{n}}| = \left|\left| \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \\ \end{array} \right|\right| \end{eqnarray}$

其中 $i_{1}， i_{2}， \cdots, i_{n}$ 是 $1,2，\cdots, n$ 的一个排列， $\tau(i_{1}， i_{2}， \cdots, i_{n})$ 是该排列的逆序数。所以我们定义维欧氏空间中的个向量外积为

$\begin{eqnarray} X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n} = \left| \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \\ \end{array} \right| \end{eqnarray}$

其绝对值表示由度量矩阵为 $G=I_{n}$ 的维欧几里得空间中的个向量张成的平行多面体的体积。

3. 本人悟出的两个重要定理

在这一部分，我们证明了两个关于矩阵的定理，以在下两个部分推广向量的外积。

定理1. 对任意的 $m\times n$ 阶矩阵

$\begin{eqnarray} A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

和任意的 $n\times m$ 阶矩阵

$\begin{eqnarray} B= \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

我们有

$\begin{eqnarray} |AB|= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & mn; \\ \left( \begin{array}{cccc} |A_{1}| & |A_{2}| & \cdots & |A_{C_{n}^{m}}| \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} |B_{1}| \\ |B_{2}| \\ \vdots \\ |B_{C_{n}^{m}}| \\ \end{array} \right) , & m\leq n. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

其中矩阵 $A_{i}$ 的列是中个不同的列，按列索引由小到大排列。矩阵 $B_{i}$ 的行是中个不同的行，按行索引由小到大排列。 $A_{i}$ 列的选择对应于 $B_{i}$ 行的选择。的不同值对应不同的组合，因此总数为 $C_{n}^{m}$ 。

证明：当时，结论明显成立。当 $m\leq n$ 时，我们有

$\begin{eqnarray} && \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \\ \end{array} \right) \nonumber\\ && = \left( \begin{array}{cccc} \sum\limits^{n}_{i=1}a_{1i}b_{i1} & \sum\limits^{n}_{i=1}a_{1i}b_{i2} & \cdots & \sum\limits^{n}_{i=1}a_{1i}b_{im} \\ \sum\limits^{n}_{i=1}a_{2i}b_{i1} & \sum\limits^{n}_{i=1}a_{2i}b_{i2} & \cdots & \sum\limits^{n}_{i=1}a_{2i}b_{im} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sum\limits^{n}_{i=1}a_{mi}b_{i1} & \sum\limits^{n}_{i=1}a_{mi}b_{i2} & \cdots & \sum\limits^{n}_{i=1}a_{mi}b_{im} \\ \end{array} \right) \nonumber\\ && = \sum\limits_{j_{1},j_{2}, \cdots, j_{m}}(-1)^{\tau(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{m})}(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{1i}b_{ij_{1}})(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{2i}b_{ij_{2}}) \cdots(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{mi}b_{ij_{m}}) \nonumber\\ && = \sum\limits_{j_{1},j_{2}, \cdots, j_{m}}(-1)^{\tau(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{m})}\sum\limits_{l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{m}}a_{1l_{1}}b_{l_{1}j_{1}}a_{2l_{2}}b_{l_{2}j_{2}} \cdots a_{ml_{m}}b_{l_{m}j_{m}} \nonumber\\ && =\sum\limits^{C_{n}^{m}}_{i=1}|A_{i}B_{i}|=\sum\limits^{C_{n}^{m}}_{i=1}|A_{i}||B_{i}| \nonumber\\ && = \left( \begin{array}{cccc} |A_{1}| & |A_{2}| & \cdots & |A_{C_{n}^{m}}| \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} |B_{1}| \\ |B_{2}| \\ \vdots \\ |B_{C_{n}^{m}}| \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

其中 $j_{1}， j_{2}， \cdots, j_{m}$ 是 $1,2，\cdots, m$ 的一个排列， $\tau(j_{1}， j_{2}， \cdots, j_{m})$ 的排列逆序数， $l_{1}， l_{2}， \cdots, l_{m}$ 是 $1,2，\cdots n$ 中的个元素的排列。在第三步，我们已经用反对称抵消了很多项。

定理2. 对任意的 $m\times n$ 阶矩阵

任意的 $n\times s$ 阶矩阵

$\begin{eqnarray} B= \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2s} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{ns} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

以及 $m\times s$ 阶矩阵

$\begin{eqnarray} C=AB \end{eqnarray}$

我们有

$\begin{eqnarray} && \left( \begin{array}{cccc} |C_{11}| & |C_{12}| & \cdots & |C_{1C^{k}_{s}}| \\ |C_{21}| & |C_{22}| & \cdots & |C_{2C^{k}_{s}}| \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ |C_{C^{k}_{m}1}| & |C_{C^{k}_{m}2}| & \cdots & |C_{C^{k}_{m}C^{k}_{s}}| \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} |A_{11}| & |A_{12}| & \cdots & |A_{1C^{k}_{n}}| \\ |A_{21}| & |A_{22}| & \cdots & |A_{2C^{k}_{n}}| \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ |A_{C^{k}_{m}1}| & |A_{C^{k}_{m}2}| & \cdots & |A_{C^{k}_{m}C^{k}_{n}}| \\ \end{array} \right) \nonumber\\ && \left( \begin{array}{cccc} |B_{11}| & |B_{12}| & \cdots & |B_{1C^{k}_{s}}| \\ |B_{21}| & |B_{22}| & \cdots & |B_{2C^{k}_{s}}| \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ |B_{C^{k}_{n}1}| & |B_{C^{k}_{n}2}| & \cdots & |B_{C^{k}_{n}C^{k}_{s}}| \\ \end{array} \right), \end{eqnarray}$

$C_{ij}$ 是的个不同的行和个不同的列对应的元素生成的子矩阵，行和列的索引从小型到大排列， $A_{ij}$ 是的个不同的行和个不同的列对应的元素生成的子矩阵，行和列的索引从小型到大排列， $B_{ij}$ 是的个不同的行和个不同的列对应的元素生成的子矩阵，行和列的索引从小型到大排列。 $C_{ij}$ 的行索引的选取方式与 $A_{il}$ 对应一致， $C_{ij}$ 的列索引的选取方式与 $B_{lj}$ 对应一致， $A_{il}$ 的列索引的选取方式与 $A_{lj}$ 的行索引的选取方式对应一致。 , 或的不同值对应不同的组合，因此总数分别为 $C_{m}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ 和 $C_{s}^{k}$ 。

证明： $\forall ~1\leq i\leq C_{m}^{k}, 1\leq j\leq C_{s}^{k}$ , 根据定理我们有

$\begin{eqnarray} |C_{ij}|=\sum\limits_{l=1}^{C_{n}^{k}}|A_{il}||B_{lj}| \end{eqnarray}$

所以结论成立。

维空间中

个向量的外积的定义

根据第三部分中的两个定理，我们可以定义度量矩阵为单位矩阵的维欧氏空间中向量的外积。假定

$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} X_{1}=(x_{11}, x_{21}, \cdots, x_{n1})^{T}\in\mathbb{R}^{n} \\ X_{2}=(x_{12}, x_{22}, \cdots, x_{n2})^{T}\in\mathbb{R}^{n} \\ \vdots \\ X_{m}=(x_{1m}, x_{2m}, \cdots, x_{nm})^{T}\in\mathbb{R}^{n} \end{array} \end{eqnarray}$

且 $2\leq m\leq n$ , 我们令

$\begin{eqnarray} X= \left( \begin{array}{cccc} X_{1} & X_{2} & \cdots & X_{m} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \end{array} \right)\end{eqnarray}$

并且定义

$\begin{eqnarray} \tilde{X} = \left( \begin{array}{c} |X^{1}| \\ |X^{2}| \\ \vdots \\ |X^{C_{n}^{m}}| \end{array} \right), \end{eqnarray}$

其中矩阵 $X^{i}$ 的行是的个不同的行构成的矩阵，按行索引从小到大排列。的不同值对应不同的组合，因此总数为 $C_{n}^{m}$ 。 $\forall ~ n\times n$ 阶矩阵，我们定义

$\begin{eqnarray} \tilde{A}(m) = \left( \begin{array}{cccc} |A_{11}| & |A_{12}| & \cdots & |A_{1C^{m}_{n}}| \\ |A_{21}| & |A_{22}| & \cdots & |A_{2C^{m}_{n}}| \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ |A_{C^{m}_{n}1}| & |A_{C^{m}_{n}2}| & \cdots & |A_{C^{m}_{n}C^{m}_{n}}| \\ \end{array} \right), \end{eqnarray}$

其中 $A_{ij}$ 是中个不同的行和个不同的列对应的元素生成的子矩阵，按行索引和列索引从小到大排列， $A_{li}$ 的行索引及其排序顺序与 $A_{jl}$ 的列索引及其排序顺序一致。不同的值 , , 对应不同的组合，因此总数为 $C_{n}^{m}$ 。

现在我们定义外积为

$\begin{eqnarray} X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{m}=\tilde{X}. \end{eqnarray}$

显然，它满足乘法分配律和反对称且当 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{m}$ 线性相关时，这个外积是零向量。

5. 向量外积的性质高维空间上向量的外积也满足乘法分配律具有反对称性。交换两个向量的位置，外积变为原来的相反数。向量线性相关时，外积为零。

这个根据行列式的性质直接就只可以得出结论，因为向量的外积我们是用行列式定义的。而行列式关于列满足乘法分配律，所以性质1成立。行列式交换两列变为原来的相反数，所以性质2成立。行列式列向量线性相关时，行列式为零，所以性质3成立。

6. 度量矩阵为单位矩阵的维空间中个向量的外积的几何证明

由第二部分可知，矩阵行列式的绝对值表示由矩阵的行向量或列向量张成的平行多面体的维体积，因此向量 $\tilde{X}$ 的每个分量的绝对值表示由 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{m}$ 张成的平行多面体的体积在由每个基向量生成的维子空间中分量。上述向量的内积表示 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 张成的平行多面体的体积是很直观的，因为平行多面体在某一个维子空间 $V_{m}$ 和它的正交补空间 $V_{m}^{\bot}$ 作正交分解，体积的分解满足勾股定理，可以先在三维空间去思考，即思考三维空间中两个向量张成的平行四边形的面积的情形，在这种情形下面积有三个投影。第一次分解可将面积分解为 x-y 平面和轴平行的方向上，满足勾股定理，之所以分解时面积满足勾股定理是因为该平面与 x-y 形成二面角的边分解为 x-y 平面内和与轴平行的方向上时，满足勾股定理，而面积正是由这些边的线段在公共边的方向上累积而成，因此面积也满足勾股定理，如下图；

三维空间中面积投影的图形展示

同理第二次分解将轴方向上的投影进一步分解为 y-z 平面以及 z-x 平面上，也满足勾股定理。因此总体上依旧满足勾股定理。高维空间上的分解图我们在低维空间上画不出来，但是我们作同样的思考，即维平行多面体与维坐标平面的公共“边”是一个 m-1 维平面，因此我们同样可对“二面角”的边作正交分解，而体积正是由这些边在公共“边”的方向上累积而成，因此也满足勾股定理。

在这 $C_{n}^{m}$ 个方向的正交分解过程中，每次分解从几何方面均满足勾股定理。因此平行多面体的体积是

$\begin{eqnarray} V=|\tilde{X}|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{C_{n}^{m}}||X^{i}||^{2}}, \end{eqnarray}$

下面我们将要从代数的角度来证明它。这里，内部的 $|\cdot|$ 代表行列式，外部的 $|\cdot|$ 代表绝对值。

7. 度量矩阵为单位矩阵的维空间中个向量的外积代数证明

事实上，我们可以在 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{m}$ 及其正交补空间中选择一组新的正交归一化基向量，或者等价地将空间旋转使 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{n}$ 成为 $X^{1}$ 对应的第一个维子空间，即有一个旋转矩阵 (即行列式等于的正交矩阵)满足

$\begin{eqnarray} Y =SX = S \left( \begin{array}{cccc} X_{1} & X_{2} & \cdots & X_{m} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1m} \\ y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_{m1} & y_{m2} & \cdots & y_{mm} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{array} \right). \end{eqnarray}$

因此根据定理 , 我们有

$\begin{eqnarray} \tilde{Y} = \left( \begin{array}{c} |Y^{1}| \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) =\tilde{S}(m)\tilde{X} \end{eqnarray}$

这里

$\begin{eqnarray} Y^{1} = \left( \begin{array}{cccc} y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1m} \\ y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_{m1} & y_{m2} & \cdots & y_{mm} \\ \end{array} \right), \end{eqnarray}$

所以平行多面体的体积是

$\begin{eqnarray} && V=||Y_{1}||=|\tilde{Y}|=\sqrt{\tilde{Y}\cdot\tilde{Y}}=\sqrt{\tilde{Y}^{T}\tilde{Y}} =\sqrt{(\tilde{S}(m)\tilde{X})^{T}\tilde{S}(m)\tilde{X}} \nonumber\\ && =\sqrt{\tilde{X}^{T}\tilde{S}(m)^{T}\tilde{S}(m)\tilde{X}} =\sqrt{\tilde{X}^{T}\tilde{I_{n}}(m)\tilde{X}} =\sqrt{\tilde{X}^{T}I_{C_{n}^{m}}\tilde{X}} \nonumber\\ && =\sqrt{\tilde{X}^{T}\tilde{X}}=\sqrt{|X^{T}X|}=|\tilde{X}|. \end{eqnarray}$

这意味着由 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{m}$ 张成的平行多面体的体积等于 $X^{T}X$ 的行列式二分之一次方或 $\tilde{X}$ 的长度。

到目前为止，我们已经证明了度量矩阵即度规矩阵为单位矩阵的维欧几里德空间中个向量的外积的长度表示由这个向量张成的平行多面体的体积。

8. 度量矩阵为单位矩阵的

维空间中

个向量的外积在复数域上的推广及证明

在度量矩阵为单位矩阵 $I_{n}$ 的维酉空间中，我们得到了类似的结论。假设

$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} X_{1}=(x_{11}, x_{21}, \cdots, x_{n1})^{T}\in\mathbb{C}^{n} \\ X_{2}=(x_{12}, x_{22}, \cdots, x_{n2})^{T}\in\mathbb{C}^{n} \\ \vdots \\ X_{m}=(x_{1m}, x_{2m}, \cdots, x_{nm})^{T}\in\mathbb{C}^{n} \end{array}, \end{eqnarray}$

$2\leq m\leq n$ ，

以及

$\begin{eqnarray} \tilde{X} = \left( \begin{array}{c} |X^{1}| \\ |X^{2}| \\ \vdots \\ |X^{C_{n}^{m}}| \end{array} \right), \end{eqnarray}$

我们也可以将外积定义为

$\begin{eqnarray} X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{m}=\tilde{X}. \end{eqnarray}$

同样地，我们可以在 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{m}$ 及其正交补空间中选择一组新的正交归一化基向量，或者等价地，我们可以将空间旋转使 $X_{1}， X_{2}， \cdots, X_{n}$ 成为与 $X^{1}$ 相对应的第一个维子空间，即存在一个行列式等于的幺正矩阵满足

所以我们有

$\begin{eqnarray} && ||Y_{1}||=|\tilde{Y}|=\sqrt{\tilde{Y}\cdot\tilde{Y}}=\sqrt{\tilde{Y}^{H}\tilde{Y}} =\sqrt{(\tilde{S}\tilde{X})^{H}\tilde{S}\tilde{X}} \nonumber\\ && =\sqrt{\tilde{X}^{H}\tilde{S}^{H}\tilde{S}\tilde{X}} =\sqrt{\tilde{X}^{H}\tilde{I_{n}}(m)\tilde{X}} =\sqrt{\tilde{X}^{H}I_{C_{n}^{m}}\tilde{X}} \nonumber\\ && =\sqrt{\tilde{X}^{H}\tilde{X}}=\sqrt{|X^{H}X|}=|\tilde{X}| \end{eqnarray}$

其中上标 ``H" 表示转置复数共轭运算， $|\cdot|$ 表示复数的绝对值或矩阵的行列式。

9. 向量外积在任意度规矩阵、任意维空间的任意多个向量上的推广及证明

维空间中的度量矩阵可以看成是基矢向量 $\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n}$ 的内积构成的矩阵，

$\begin{eqnarray} G= \left( \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{1}\cdot\bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{1}\cdot\bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{1}\cdot\bm{\varepsilon}_{n} \\ \bm{\varepsilon}_{2}\cdot\bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{2}\cdot\bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{2}\cdot\bm{\varepsilon}_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{\varepsilon}_{n}\cdot\bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{n}\cdot\bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{n}\cdot\bm{\varepsilon}_{n} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

这是一个厄米矩阵。如果我们把基向量看成列向量，我们有

$\begin{eqnarray} && G= \left( \begin{array}{c} \bm{\varepsilon}_{1}^{T} \\ \bm{\varepsilon}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \bm{\varepsilon}_{n}^{T} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{n} \\ \end{array} \right) \nonumber\\ && \Longrightarrow ||G||= \left|\left| \begin{array}{c} \bm{\varepsilon}_{1}^{T} \\ \bm{\varepsilon}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \bm{\varepsilon}_{n}^{T} \\ \end{array} \right| \left| \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{n} \\ \end{array} \right|\right| = \left| \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{n} \\ \end{array} \right|^{2}. \end{eqnarray}$

根据第二部分，行列式 $\left| \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{1} & \bm{\varepsilon}_{2} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{n} \\ \end{array} \right|$ 表示 $\bm{\varepsilon}_{1}， \bm{\varepsilon}_{2}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{n}$ 的外积， |G| 的绝对值是由 $\bm{\varepsilon}_{1}， \bm{\varepsilon}_{2}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{n}$ 张成的平行多面体的体积在由 $\bm{\varepsilon}_{1}， \bm{\varepsilon}_{2}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{n}$ 生成的子空间中的投影乘以自身，即 |G| 的绝对值是由 $\bm{\varepsilon}_{1}， \bm{\varepsilon}_{2}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{n}$ 所生成的平行多面体的体积的平方。这就是为什么不变体积元素在微分几何中包含 $\sqrt{||G||}$ 的原因。对于

$\begin{eqnarray} \tilde{G}(m) = \left( \begin{array}{cccc} |G_{11}| & |G_{12}| & \cdots & |G_{1C^{m}_{n}}| \\ |G_{21}| & |G_{22}| & \cdots & |G_{2C^{m}_{n}}| \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ |G_{C^{m}_{n}1}| & |G_{C^{m}_{n}2}| & \cdots & |G_{C^{m}_{n}C^{m}_{n}}| \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

有

$\begin{eqnarray} && |G_{ij}|= \left| \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{i_{1}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{1}} & \bm{\varepsilon}_{i_{1}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{2}} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{i_{1}}\cdot\bm{\varepsilon}_{i_{m}} \\ \bm{\varepsilon}_{i_{2}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{1}} & \bm{\varepsilon}_{i_{2}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{2}} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{i_{2}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{m}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{\varepsilon}_{i_{m}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{1}} & \bm{\varepsilon}_{i_{m}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{2}} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{i_{m}}\cdot\bm{\varepsilon}_{j_{m}} \\ \end{array} \right| \nonumber\\ && = \left|\left| \begin{array}{c} \bm{\varepsilon}_{i_{1}}^{T} \\ \bm{\varepsilon}_{i_{2}}^{T} \\ \vdots \\ \bm{\varepsilon}_{i_{m}}^{T} \\ \end{array} \right| \left| \begin{array}{cccc} \bm{\varepsilon}_{j_{1}} & \bm{\varepsilon}_{j_{2}} & \cdots & \bm{\varepsilon}_{j_{m}} \\ \end{array} \right|\right|. \end{eqnarray}$

因此，行列式 $|G_{ij}|$ 表示 $\bm{\varepsilon}_{i_{1}}， \bm{\varepsilon}_{i_{2}}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{i_{m}}$ 的外积在由 $\bm{\varepsilon}_{j_{1}}， \bm{\varepsilon}_{j_{2}}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{j_{m}}$ 生成的子空间上投影乘以 $\bm{\varepsilon}_{j_{1}}， \bm{\varepsilon}_{j_{2}}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{j_{m}}$ 的外积， $|G_ {ij}|$ 的绝对值表示由 $\bm{\varepsilon}_{i_{1}}, \bm{\varepsilon}_{i_{2}}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{i_{m}}$ 生成的平行多面体的体积在由 $\bm{\varepsilon}_{j_{1}}， \bm{\varepsilon}_{j_{2}}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{j_ m}$ 生成的子空间中投影乘以由 $\bm{\varepsilon}_{j_{1}}， \bm{\varepsilon}_{j_{2}}， \cdots， \bm{\varepsilon}_{j_ m}$ 生成的平行多面体的体积，因此我们有

$\begin{eqnarray} \sqrt{\tilde{X}\cdot\tilde{X}}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{C_{n}^{m}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{m}} \overline{\tilde{X}}_{i}|G_{ij}|\tilde{X}_{j}} =\sqrt{\tilde{X}^{H}\tilde{G}(m)\tilde{X}}=\sqrt{|X^{H}GX|}=|\tilde{X}| \end{eqnarray}$

其中 $\overline{\tilde{X}}_{i}$ 表示 $\tilde{X}_{i}$ 的复数共轭数。这意味着如果我们定义

的外积为

$\begin{eqnarray} X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{m}=\tilde{X}. \end{eqnarray}$

我们的结果可以推广到度量矩阵是任何厄米矩阵的维空间中的个向量上去。

10. 更多展望

本文成功地将外积的定义推广到度规矩阵为任意厄米矩阵的任意维空间中的任意数量的向量上去。我们得到的结论无论是在代数方面还是在几何方面都是完美的。本文提出了两个与矩阵有关的定理，使我们能够解释高维空间中向量的外积的几何意义。外积的长度表示由这向量张成的平行多面体维的体积，外积的每个分量的绝对值表示体积在不同方向上的分量。特别地，在高维欧氏空间和酉空间中，当度规矩阵为单位矩阵时，这种体积的分解仍然满足勾股定理，个向量在维空间中的外积是由这些向量作为行或列向量构成的方阵的行列式。我们还解释了度量矩阵及其子矩阵行列式的几何意义，这对理解微分几何中高维空间及其子空间中的不变体积元也有帮助。

还有一些问题可以进一步讨论。例如，我们可以对度规矩阵分别为正定、半正定、负定、半负定、不定非奇异和不定奇异的情况进行更详细的讨论。对于不定非奇异子空间中长度为零的矢量，不能将其旋转到正定或负定子空间，如狭义相对论中的类光向量。

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