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一。向量点积公式
先给个向量内积的定义,也叫向量点积 同时它还满足如下公式。 有了上面两个公式呢,就可以很方便地求出两个向量的夹角了,下面的定义3,其实就是根据上面的式(1)转换得到 比如x=(1,0),y=(1, 1), 由定义1,[x, y]=1*1+0*1=1 ∣x∣∗∣y∣=1∗ 那么cos( 可以看出求夹角非常地方便。式1中的公式它为什么能成立呢,把它细化一下,就是下式为什么能成立呢? x1x2+y1y2+...+xnyn=∣x∣∗∣y∣∗ cos( 先说明一点,我们最终要证的就是式(2):x1x2+y1y2+...+xnyn=∣x∣∗∣y∣∗cos( 式(2)的右边的含义很明确,向量的内积就是向量y在向量x上的投影长度(即 ∣y∣*cos( 当然反过来也是一样,也可以说是向量x在向量y上的投影长度 (即 ∣x∣*cos( 注意,这才是向量点积的真正含义! 2.式2左边半没啥好说的,定义1已经说了,咱定义了它就是向量的内积。但是如果我们又定义了式(2)的右边也是向量内积,所以说左边等于右边,那这肯定是扯淡~~。 同理,如果有人说定义不用证明,那也是在扯淡。 问题是左边真的等于右边吗?下面先给出二维平面上的证明。 三。二维平面上的证明 1.复习一下向量加法![]() 先复习一下,一个向量可以分解为延着x坐标和延着y坐标的两个分向量的和,如上图,因为 为了避免混淆,把式(2)先改一下,改为a向量和b向量,并且改为2维平面的情况 注:式(3)的ax的意思是向量a的x分量值,是一个值,不是向量(它上面没有箭头,也没有加粗,下面注意区别) 2.证明接下来,我们先从式(3)左边入手,还是右边入手呢?都不。。。我们得从向量点积的真正含义入手,上面分析过了,见二(1)。现在为了方便书写,就用一个实心点表示向量点积符号,即:
接下来,由于点积的含义
同理 所以:
最终,成功证明了: 等等,其实并没有证明结束,上面的证明用了一个性质,是关键的环节,但是我们其实完全不知道它对不对!就是说向量点积符合分配律,从而实现从式4到式5的转变
我们知道,四则运算是符合分配律的,但是我不准备证明这玩意儿,也不准备质疑它。但是你不能说现在我们随意新定义了一种运算,然后我们就说它符合分配律,那肯定是扯淡! (2)扯淡环节如果你不信的话,下面插播一段扯淡环节,我现在定义一个运算符,叫做“绝对乘”,符号我想好了,就是:|*|,就是两个竖杠中间夹了一个乘号(星号),为了好识别我把我发明的符号加个粗标个红色,它的运算方法是,两个数做绝对乘,就是把两个数的绝对值乘起来,接下来我说它符合分配律!来验证一下: 0|*|10=(-1+1)|*|10=-1|*|10+1|*|10=|-1|*|10|+|1|*|10|=20, 但是不对啊,0|*|10=|0|*|10|=0啊,完了,它明显不符合分配律! (3)证明如果向量点积真不符合分配律,那不完犊子了,没法证了。所以接下来我们就证明一下(或者说验证一下,实力有限,可能不是完美证明),它倒底符不符合分配律。 我们先简化一下,就证下面这个就行了,因为如果b可以分开来乘了,a自然也可以分开来乘了。 注意,我们这里其实证的并不是向量点积是否符合分配律,因为向量bx和向量by分别是延着x轴、y轴方向的,这是限制条件!并且在2.证明中,我们也是基于这个限制条件的,所以我们只要证明这限制条件下的分配律成立,其实就可以了。
接下来,画图证明: AB就是向量a,AC就是向量b,我们现在要证明的是向量b和向量a的点积等于向量bx和向量a的点积加上向量by和向量a的点积,证明了它,就证明式6成立。 然后仍然是从向量点积的含义入手,我们唯一能确定的东西就是它的含义,因为它是我们新定义一个运算符!(在推导式3的时候,我们就可以这么设想~~)。 向量a和向量b的点积就是向量AC在向量AB上的投影即AF的长度乘上AB的长度。 向量AC的x分量就是向量AD,向量AD与向量AB的点积就是AC在AB上的投影即AG乘上AB 同量,向量AC的y分量就是向量AE,AE与AB的点积就是AH乘AB 即: 三者都有AB,所以如果我们能证明:AF=AG+AH,那就可以推导出式6了,即: 再观察一下上图: AF=AH+HF 那只要证明AG=HF,就OK了。现在加一点标记,标了3个角,它们的角度相同,都等于向量a和向量b的夹角θ,又标了一个点I(箭头处): AG=AD*cos(θ) HF=EI*cos(θ)+IC*cos(θ)=EC*cos(θ)=AD*cos(θ) 完事儿了,AG=HF! 所以最终我们推导出了公式6!即 所以向量点积是满足分配律的!2.证明的步骤完全成立! 注:这个图可能随着不同的角度会有一些变化,但是证明的方法都是一样的。 (4)那没限制条件的分配律还能证吗?虽然说有限制条件的分配律证明了,就可以推导向量点积公式了,但是不禁好奇,没限制条件的呢,比如下式是否成立,向量c和向量d没有限制条件。
向量cx和dx是同方向的,其向量和的长度就相于两个向量长度的和,然后它们在a上的投影都是乘以同一个cos(θ),那肯定是相等的了,不详写了。 继续接式(9),把它重新组合一下,向量cx和向量cy合一起,向量dx和向量dy合一起,得到:
证明完毕! 如果这里要问一下,为啥能合起来,即下式为啥成立? 这个式子就是之前的式(6)啊,只是把等号左右两边交换了下而已,把式(6)再贴一下给你看看: 所以,由式(8),(9),(10)得到,向量点积真的符合分配律! 四。多维空间上还是否成立?其实2.证明里的步骤完全可以写成多维的形式,比如加一维,写成下面这样,然后还是拆开乘就行了 关键是多维空间的向量点积是否符合分配律?答案应该(也许可能大概)是符合啊,你看我下面扯的对不对啊。 二维空间我们证过了,符合分配律,所以下式是成立的,向量bx和向量byz是在一个平面上的 然后: 所以下式成立: 所以在3维平面也符合分配律!从而3维平面上的点积公式3也成立! 那么可能又问,那n维空间呢?其实完全可以把上面这一段改一下,改为证明:假设n维空间向量点积符合分配律,那么n+1维空间是否还符合。(当然是OK的喽,我就懒得再写一遍了) 然后由于2维空间符合分配律,由数学归纳法得知,任意n维空间都符合分配律。从而再由2.证明改一下得出任意n维空间都符合向量点积公式3 |
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