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坐标转换有很多种方法,不同的领域有不同的使用习惯。 上两篇文章我们讲了旋转矩阵和欧拉角,可知欧拉角是可以由旋转矩阵转化而来。 那么怎么从欧拉角转化为旋转矩阵呢? 欧拉角(Euler angles)与旋转矩阵(Rotation Matrix)假设坐标系1的欧拉角yaw(Azimuth)、pitch、roll的角度为 α,β,γ ,可以由公式: R(α,β,γ)=Rz(α)Ry(β)Rx(γ)=⎡⎣⎢cosαcosβsinαcosβ−sinβcosαsinβsinγ−sinαcosγsinαsinβsinγ+cosαcosγcosβsinγcosαsinβcosγ+sinαsinγsinαsinβcosγ−cosαsinγcosβcosγ⎤⎦⎥旋转矩阵是一个正交矩阵,其中, Rz(α)=⎡⎣⎢cosαsinα0−sinαcosα0001⎤⎦⎥ Ry(β)=⎡⎣⎢cosβ0−sinβ010sinβ0cosβ⎤⎦⎥ Rx(γ)=⎡⎣⎢1000cosγsinγ0−sinγcosγ⎤⎦⎥ 那么假设有坐标系1中的点坐标为 P1 ,经过欧拉角的旋转变换变成了坐标系2的坐标 P2 ,那么有 P1=R⋅P2注意相乘的顺序,顺序不同旋转矩阵也不同。 旋转矩阵与方向余弦矩阵(Direction Cosine Matrix)方向余弦就是各个坐标轴之间的夹角的余弦。上面提到的欧拉角就是按照某坐标轴顺序依次进行旋转,每相乘一次即乘以一个矩阵,而这个矩阵其实就是方向余弦矩阵。 比如欧拉角yaw(Azimuth),是围绕z轴旋转,那么就是乘以 Rz(α) 。这里的 Rz(α) 就是一个方向余弦矩阵。 其实可以看出,旋转矩阵就是三个方向余弦矩阵的相乘,本质上都是一样的。所以在下面的讨论中不再做区分,统称旋转矩阵。 在matlab中,可以用函数angle2dcm和dcm2angle来完成旋转矩阵与欧拉角之间的相互转换。 轴角表示(Axis-Angle)旋转的轴角表示用两个值参数化了旋转: 一个直线(轴),和描述绕这个轴旋转的一个角。也叫做旋转的指数坐标。 比如我们可以使用 ==(x,y,z,θ) ==(x,y,z,\theta)来表示坐标的旋转。其中Axis可以是任意一条直线,大小也不一。 旋转向量(Rotation vector)轴角表示很直观得说明了坐标系的旋转情况,但还是不够简洁。旋转向量本质上还是轴角表示,但是只是用了一个向量来代替。 还以上一个例子展开说明,若一个旋转情况的轴角表示为 (x,y,z,θ) ,那么其旋转向量为 (θ⋅x′,θ⋅y′,θ⋅z′)其中, (x′,y′,z′) 为 (x,y,z) 的单位向量。 旋转向量在安卓中可以用TYPE_ROTATION_VECTOR直接拿到旋转向量,但要注意的是,安卓中的旋转向量是 (x′⋅sin(θ2),y′⋅sin(θ2),z′⋅sin(θ2))matlab中,可以使用angle2rod函数来从欧拉角转化为旋转向量。 四元数(Quaternion)四元数是旋转向量的变种,在旋转向量前(或后)加了一项,变成了: (cos(θ2),x′sin(θ2),y′sin(θ2),z′sin(θ2))设四元数 q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢qiqjqkqr⎤⎦⎥⎥⎥⎥=qii+qjj+qkk+qr ,(这里把角度放在了后面)则需满足: q2i+q2j+q2k+q2r=1设有坐标系1里的点 P1 ,需要通过四元数转换到坐标系2点 P2 ,则有: P2=qP1q−1其中, q−1 是 q 的共轭, q−1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢−qi−qj−qkqr⎤⎦⎥⎥⎥⎥四元数的好处就是计算方便快捷,安卓中可以使用getQuaternionFromVector方法由旋转矩阵得到四元数。 四元数与欧拉角的转换注意,不同的旋转顺序,坐标表示,转换的方式都不尽相同,请在转换前留意。 若绕z-y-x轴的顺序旋转,欧拉角为yaw (ψ), pitch (θ) and roll (φ) 。 可以求出四元数 q=(qi,qj,qk,qr) ,这里 qr 为角度,即角度放在了后面: qiqjqkqr=sinϕ2cosθ2cosψ2−cosϕ2sinθ2sinψ2=cosϕ2sinθ2cosψ2+sinϕ2cosθ2sinψ2=cosϕ2cosθ2sinψ2−sinϕ2sinθ2cosψ2=cosϕ2cosθ2cosψ2+sinϕ2sinθ2sinψ2若已知四元数求欧拉角: rollpitchyaw=atan2(2(qrqi+qjqk),1−2(q2i+q2j))=arcsin(2(qrqj−qkqi))=atan2(2(qrqk+qiqj),1−2(q2j+q2k))如果把角度放在前面,即 q=(q0,q1,q2,q3) ,有: q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(ψ/2)00sin(ψ/2)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(θ/2)0sin(θ/2)0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(ϕ/2)sin(ϕ/2)00⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(ϕ/2)cos(θ/2)cos(ψ/2)+sin(ϕ/2)sin(θ/2)sin(ψ/2)sin(ϕ/2)cos(θ/2)cos(ψ/2)−cos(ϕ/2)sin(θ/2)sin(ψ/2)cos(ϕ/2)sin(θ/2)cos(ψ/2)+sin(ϕ/2)cos(θ/2)sin(ψ/2)cos(ϕ/2)cos(θ/2)sin(ψ/2)−sin(ϕ/2)sin(θ/2)cos(ψ/2)⎤⎦⎥⎥⎥⎥由欧拉角求四元数: ⎡⎣⎢ϕθψ⎤⎦⎥=⎡⎣⎢atan2(2(q0q1+q2q3),1−2(q21+q22))asin(2(q0q2−q3q1))atan2(2(q0q3+q1q2),1−2(q22+q23))⎤⎦⎥matlab中(Aerospace Toolbox), quatmultiply,quatinv,quatconj分别对应四元数的乘法、逆、和共轭。 angle2quat和quat2angle进行欧拉角与四元数的互转。 dcm2quat和quat2dcm进行旋转矩阵与四元数的互转。 rod2quat和quat2rod进行旋转向量与四元数的互转。 Reference: matlab中各种表示之间的相互转换:http://cn.mathworks.com/help/aeroblks/axes-transformations.html维基百科:坐标转换的各种向量介绍与转换:https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensionsConversion between quaternions and Euler angles:https://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles |
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