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点击查看第零章点击查看第一章点击查看第二章 第3章 Lebesgue可测函数为了给下一章开始的Lebesgue积分的研究打下基础,本章对可测函数进行研究.如同闭有界区间上的所有单调函数与阶梯函数一样,所有可测定义域上的连续实值函数是可测的.可测函数的线性组合是可测的.可测函数序列的逐点极限是可测的.我们证明用简单函数和连续函数逼近可测函数的结果. 3.1 和、积与复合本章考虑的所有函数取值于扩充实数,即集合R∪{±∞}.回忆一下,一个性质称为在可测集E上几乎处处(简写为a.e.)成立,若它在E~E0上成立,其中E0是E的满足m(E0)=0的子集.给定定义在E上的两个函数h和g.为了记号上的简洁,我们常写“在E上,h≤g”来表示对所有x∈E,h(x)≤g(x).我们说E上的函数序列{fn}是递增的,若对每个指标n,在E上 证明 如同(ii)和(iii)中的集合,由于(i)和(iv)中的集合在E中互为补集,而E的可测子集在E中的补集是可测的,所以(ii)和(iii)、(i)和(iv)是等价的.现在(i)蕴涵(ii),这是由于 可测集的可数族的交是可测的.类似地,(ii)蕴涵(i),这是由于 可测集的可数族的并是可测的.因此陈述(i)~(iv)是等价的.现在假设它们中的一个成立,因此它们中的所有成立.若c是实数,{x∈Ef(x)=c}={x∈Ef(x)≥c}∩{x∈Ef(x)≤c},因此 因此 以下命题告诉我们初等分析中最为熟悉的连续函数是可测的.命题3 在可测集定义域上连续的实值函数是可测的.证明 令函数f在可测集E上连续.令O为开的.由于f是连续的, 且又一次利用可测集是一个代数这一事实.两个可测的扩充实值函数f和g的和f+g在那些f和g取异号的无穷值的点不是恰当定义的.假设f和g在E上a.e.有限.定义集合E0为E中那些使得f和g都是有限的点的集合.若f+g在E0上的限制是可测的,则由前一个命题,f+g的任何到整个E的延拓,作为扩充的实值函数也是可测的.这是我们认为“两个a.e.有限可测函数的和是可测”毫无歧义的道理.类似的说明适用于乘积.以下命题告诉我们实施在a.e.有限可测函数上的标准的代数运算仍然导出可测函数.定理6 令f和g为E上的可测函数,在E上a.e.有限.(线性)对任何α和β, (乘积) 证明 根据以上的说明,我们可以假设f和g在整个E上有限.若α=0,则函数αf也是可测的.若α≠0,观察到对于数c, 而 因此f的可测性蕴涵αf的可测性.因此为证明线性仅须考虑α=β=1的情形.对于x∈E,若f(x)+g(x)<c,则f(x)<c-g(x),从而根据有理数集Q在R中的稠密性,存在有理数q使得 因此, 有理数是可数的.因此{x∈Ef(x)+g(x)<c}是可测的,这是由于它是可测集的可数族的并.因此f+g是可测的.为证明可测函数的乘积是可测的,首先观察到 因此,由于我们已证明线性,为证明两个可测函数的乘积是可测的,仅须证明可测函数的平方是可测的.对c≥0, 而对于c<0, 因此f^2是可测的.初等分析中考虑过的许多函数性质,包括连续性和可微性,在函数的复合运算下依然成立.然而,可测函数的复合可以不是可测的.例子 存在两个可测实值函数,每个定义在整个R上,其复合不是可测的.根据第2章的命题21,存在定义在[0,1]上的连续严格递增函数ψ和[0,1]的可测子集A,使得ψ(A)是不可测的.延拓ψ为R映上R的连续严格递增函数.函数ψ^-1是连续的,因此是可测的.另一方面,A是可测集,从而它的特征函数(其定义见3.2节)χA是可测函数.我们宣称复合函数 由于f是连续的且定义在开集上,集合U=f-1(O)是开的.我们从函数g的可测性推出 在E上的定义为 以相同方式定义函数 因此该集合是可测的,这是由于它是可测集的有限并.因此函数 的表示方式在定义Lebesgue积分时起着重要作用. 习题1.假定f和g是[a,b]上的连续函数.证明:若在[a,b]上f=g,a.e.,则事实上在[a,b]上f=g.若[a,b]换成一般的可测集E,类似的断言是否成立?2.令D和E为可测集,而f是以D∪E为定义域的函数.我们证明f在D∪E上是可测的当且仅当它限制在D和E上是可测的.若“可测的”换作“连续的”,同样结论是否成立?3.假定函数f有可测定义域且除有限个点外是连续的.f是否必然可测?4.假定f是R上的实值函数,使得对每个数c, 对于具有共同定义域E的函数序列{fn}和E上的函数f,存在几个不同的方式叙述“序列{fn}收敛于f”,有必要考虑每一种方式意味着什么.本章我们考虑具有共同定义域E的函数序列{fn}逐点收敛和一致收敛的概念,这些概念在初等分析中是熟知的.在后面的几章我们考虑许多其他模式的函数序列收敛.定义 对具有共同定义域E的函数序列{fn},E上的函数f,以及E的子集A,我们说(i) 序列{fn}在A上逐点收敛于f,若 (ii) 在A上序列{fn}a.e.逐点收敛于f,若它在A~B上逐点收敛到f,其中m(B)=0.(iii) 序列{fn}在A上一致收敛于f,若对每个ε>0,存在指标N,使得 当考虑函数序列{fn}和它们收敛到的函数f时,我们常常隐含假设所有函数有共同的定义域,我们写“在A上逐点{fn}→f”以表明在A上{fn}逐点收敛到f,且对一致收敛用类似的记号.连续函数的逐点极限不一定是连续的.Riemann可积函数的逐点极限不一定是Riemann可积的.以下命题首次显示了可测函数有好得多的稳定性.命题9 令{fn}为E上的a.e.逐点收敛于函数f的可测函数序列.则f是可测的.证明 令E0为E的子集使得m(E0)=0而{fn}在E~E0上逐点收敛于f.由于m(E0)=0,从命题5得知f是可测的当且仅当它在E~E0上的限制是可测的.因此,通过可能地用E~E0替代E,我们可以假设序列在整个E上逐点收敛.固定数c.我们必须证明{x∈Ef(x), f(x)<c 当且仅当存在自然数n和k使得对所有j≥k,fj(x)<c-1/n.但是对于任何自然数n和j,集合{x∈Efj(x) 也是可测的.因此,由于可测集的可数族的并是可测的, 是可测的.若A是任意集合,A的特征函数 R上的函数.显然函数 φ的特征函数的线性组合的特定的表示称为简单函数φ的典范表示.简单逼近引理 令f为E上的可测实值函数.假设f在E上有界,即存在M≥0,使得在E上|f|≤M.则对每个ε>0,存在定义在E上的简单函数φε和ψε具有以下逼近性质:在E上, 证明 令(c,d)为包含E的象f(E)的开有界区间,且 为闭有界区间[c,d]的一个划分,使得对 由于每个Ik是区间而函数f是可测的,每个集合Ek是可测的.定义E上的简单函数φε和ψε为 令x属于E.由于 但 若f是非负的,我们可选取{φn}为递增的.证明 由于每个简单函数是可测的,命题9告诉我们若一个函数是简单函数序列的逐点极限,则它是可测的.剩下来要证明逆命题.假设f是可测的.我们也假设在E上f≥0.一般情形通过将f表示为非负可测函数的差(见习题23)得到.令n为自然数.定义En={x∈E|f(x)≤n}.则En是可测集而f在En的限制是非负有界可测函数.将简单逼近引理用于f在En的限制,且选取ε=1/n,我们可以选取定义在En上的简单函数φn和ψn,它们具有以下逼近性质: 12.令f为E上的有界可测函数.证明存在E上的简单函数序列{φn}和{ψn},使得{φn}是递增的而{ψn}是递减的,且这些序列的每个在E上一致收敛于f. 13.实值可测函数称为半简单的,若它仅取可数个值.令f为E上的任意可测函数.证明存在E上的半简单函数序列{fn},它在E上一致收敛于f. 14.令f为E上的可测函数,其在E上a.e.有限且m(E)<∞.证明对每个ε>0,存在包含于E的可测集F,使得f在F上是有界的且m(E~F)0,存在包含于E的可测集F和E上的简单函数序列{φn}使得在F上一致地{φn}→f且m(E~F)0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F,使得 17.令I为闭有界区间而ψ是定义在I上的简单函数.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F,使得在F上, h=ψ且m(I~F)0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F,使得 19.证明如同max与min,两个简单函数的和与积是简单的. 20.令A和B为任意集.证明 21.对于具有共同定义域的可测函数序列{fn},证明以下函数都是可测的: 22.(Dini定理)令{fn}为[a,b]上的连续函数的递增序列,它在[a,b]上逐点收敛于[a,b]上的连续函数f.证明该收敛在[a,b]上是一致的.(提示:令ε>0.对每个自然数n,定义En={x∈[a,b]f(x)-fn(x)0,存在开区间的有限不交族,其并集U在 |
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