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现在我们正式开始尝试建立量子力学的基本理论体系。回顾经典力学,以哈密顿力学为例(这是因为可以直接对哈密顿力学做正则量子化得到量子力学的基本框架;当然,如果要以拉格朗日力学为例也是可以的),它的基本要素是: 物理系统在确定时刻可见对物理系统的经典描述是建立在这些基本假定之上的演绎结果;同样的,量子描述也应建立在一些基本的假设之上,这些假设来源于实验现象和逻辑规律上的总结,这些在前两章已经以非正式的形式进行了讨论。本章即将正式引入这些基本假定,并以数学语言精确表述之,以求回答下列问题: 怎样从数学上描述一个量子系统在给定时刻的态?知道了系统的态,怎样预言各种物理量的测量结果?知道了系统在给定时刻的态,怎样求得它在任意时刻的态?一、假定的陈述1 . 假定的初步解释首先不加解释地给出五条基本假设的陈述,它们又可视为量子力学公理化系统的五条公理: 公理一:物理体系在任意时刻 \boldsymbol{t_0} 的量子态由一个复可分希尔伯特空间的稠密子空间 \boldsymbol {\mathscr E} (态空间)中的矢量 \boldsymbol{|\psi(t_0)\rangle} 来描述,称之为态矢量。公理二:每个可以被测量的物理量 \boldsymbol{\mathscr A} 由态空间上的观察算符 \boldsymbol{A} 来描述,它是一个稠定自伴算符。公理三:每次对物理量 \boldsymbol{\mathscr A} 的测量值都是它一个的谱点。当系统的归一化态矢为 \boldsymbol{|\psi\rangle} 时,物理量观测值属于谱的子集 \boldsymbol X 的概率为 \boldsymbol{\langle\psi|E_A(X)|\psi\rangle} ,其中 \boldsymbol{E_A} 是算符 \boldsymbol{A} 对应的谱测度。公理四:测量前处于归一化 \boldsymbol{|\psi\rangle} 态的体系,若测量物理量 \boldsymbol{\mathcal A} 得到结果属于谱的子集 \boldsymbol X ,则测量后系统的态变为\boldsymbol{E_A(X)|\psi\rangle}。公理五:态矢随时间的演化满足薛定谔方程 \boldsymbol{{\rm i}\hbar\frac{\rm d}{{\rm d}t}|\psi(t)\rangle=H(t)|\psi(t)\rangle} ,其中 \boldsymbol{H(t)} 是与系统总能量相联系的观察算符,称为哈密顿算符。下面逐条进行解释。 1.1 态矢量假定 物理体系在任意时刻 \boldsymbol{t_0} 的量子态由一个复可分希尔伯特空间的稠密子空间 \boldsymbol {\mathscr E} (态空间)中的矢量 \boldsymbol{|\psi(t_0)\rangle} 来描述,称之为态矢量。这一条假定将具体的物理系统与抽象的线性空间中的矢量联系在了一起,使得我们利用数学工具及其运算来描述物理系统、物理操作成为了可能。 这一假定的合理性前面已经体现过了:最初,我们用一个平方可积的函数来描述粒子在指定时刻的态;它能够直接给出粒子空间位置的概率密度函数,并且能通过一些数学手段间接地获取其他信息,例如动量、能量;后来,我们将这样的波函数与右矢联系起来,构建出了更抽象的框架——态空间,而波函数不过是态矢选取了坐标表象下的“分量”。 这一假定事实上还隐含了:由于 关于态空间所选取的数学模型——复可分希尔伯特空间,其相关性质作简单说明。 完备的内积空间叫做希尔伯特空间。 采用复数域上的空间,粗浅地理解是因为根据盖拉赫-斯特恩实验等的实验现象推知,实数域不能很好地描述量子行为。事实上在后面更深入的理论分析也看出来,量子力学的确具有本性的复结构。内积是复线性空间上的一个正定、共轭对称、半共轭线性半线性的二元函数,有了内积才能讨论模长、正交性等一系列度量概念,从而才有完备性的概念。完备空间是指任何柯西列都收敛的内积空间。只有满足完备性,才有可能: 1、存在一组正交归一基,使得任何态矢都可以在基上展开。 2、任一态矢都一一对应着一个有界线性泛函(左矢)。 正是完备性保证了我们在态空间中添加“广义右矢”辅助计算的合理性。有可数稠密子集的拓扑空间叫做可分的。 集合可数是指其元素有限或者可以与自然数集建立双射。稠密子空间是指其闭包为全空间。对于距离空间,稠密等价于,对于任意点和任意小的距离,都存在另一个点,使它与该点的距离小于给定距离。实际选取的态空间是复可分希尔伯特空间的稠密子空间,实际上有两个作用: 1、完备性保证某些柯西列的极限存在,但是它们并不符合物理实际意义上可能存在的态的要求,因而需要在实际的态空间中剔除; 2、无界算符(例如坐标、动量)不能定义在整个希尔伯特空间上,而只能定义在它的稠密子空间上,因此选取一个稠密子空间可以保证这些算符对态空间中的所有右矢的作用都有定义。可分的希尔伯特空间保证了,存在可数的正交归一基,且存在一个矢量,它与所有基都不正交。不可分的希尔伯特空间,存在不可数个正交归一基,但任意矢量至多与可数个基不正交。即只有可分空间,才能够保证存在一个态矢,在所有基上的分量不全为0。否则不可分空间中可能存在不可数多个基使得任一态矢分量全为零。此外,应当注意区分态矢量和态:前者是描述态的数学模型,后者才是真正的物理对象。但是出于一种特殊情况的要求:态矢与自己的线性组合得到的态矢,应该仍表示原来的物理态。因而不同的态矢量在只差一个复常数(即复数意义的“共线”)的情况下可以描述同一个物理态,所以对于任意非零元素 1.2 可观测量假定 每个可以被测量的物理量 \boldsymbol{\mathscr A} 由态空间上的观察算符 \boldsymbol{A} 来描述,它是一个稠定自伴算符。在之前我们曾经讨论过哈密顿算符 对比经典力学,量子力学是以本质上不同的方式来描述物理系统与相关物理量的——态用矢量表示,物理量用算符表示。 满足 在前面,我们曾把这一定义当作自伴算子的一个性质,但实际上两者不是等价的。对于有界算子来讲,自伴和厄米没有区别(线性空间上算符有界性的定义是指 但是反之,量子力学常用的无限维希尔伯特空间中的很多线性算子都是无界算子,例如坐标、动量、能量在非相对论性下都是无界的。而无界算子的自伴性和厄米性却是有差别的。所幸希尔伯特空间具有足够好的性质可以保证我们在物理上不用理会这种差别而糊涂地用却不出错。 无界算符造成最直接的第一个问题就是,如何定义伴随算符。有界算符的定义域总可以自然延拓到整个空间上,但无界算符至多只能定义到它的一个稠密子空间(稠密子集的定义是其闭包等于全空间)上。这样就存在不能被无界算符因此区分无界算符的厄米性和自伴性是非常重要的;两者的关键差别在于定义域。 物理上常用的坐标、动量都是无界稠定的自伴算符,从而也保证了它们的厄米性;对于哈密顿算符来说,则可以证明在大多数常见场合下它也是无界的稠定自伴算符。 1.3 测量假定 每次对物理量 \boldsymbol{\mathscr A} 的测量值都是它一个的谱点。当系统的归一化态矢为 \boldsymbol{|\psi\rangle} 时,物理量观测值属于谱的子集 \boldsymbol X 的概率为 \boldsymbol{\langle\psi|E_A(X)|\psi\rangle} ,其中 \boldsymbol{E_A} 是算符 \boldsymbol{A} 对应的谱测度。根据之前的例子,系统的总能量是算符 前面曾经讨论过结论,即观察算符可以表示为本征子空间上投影算符按本征值的线性组合 然而对于无穷维的情况,由于甚至可能不存在本征值,因此问题没有这么简单,必须借助谱来完成“广义对角化”或称“谱分解”。这里直接给出结论: 自伴算符的谱分解定理:希尔伯特空间(有限或无限维)中的任一稠定自伴算符(不论有界或无界),存在唯一的单参投影算符族下面讨论测量假定的最后一部分,即测量值的概率分布。 对于可观测量的测量会得到一个实数值前述的内容比较抽象,我们可以用物理化的、不那么严谨但是更方便的语言来阐述这件事。具体来说,仍沿用离散谱和连续谱的“直观分类方式”讨论。以下均已归一化。 离散谱 假设
因此测量处于归一化态
其中 连续谱 假设
因此测量处于归一化态
其中 连续谱+离散谱 直接综合上述结果即可:
得到的可能结果构成一个部分连续部分离散的集合,结果为简并度
结果处于区间
其中 关于测量部分的讨论并没有结束,还有一个重要内容,即重新回顾一个一直被默认的假设: 现在着重考虑相因子
一般而言前两者表示相同的态,但与后者不同(除非 1.4 坍缩假定 测量前处于归一化 \boldsymbol{|\psi\rangle} 态的体系,若测量物理量 \boldsymbol{\mathscr A} 得到结果属于谱的子集 \boldsymbol X ,则测量后系统的态变为\boldsymbol{E_A(X)|\psi\rangle}。在测量假定中我们讨论了可观测量的测量结果与系统原所处状态 本质上来说“态矢”是我们对物理态的一个建模,它包含了所有我们知道的和不知道的信息,而我们只是用这样一个矢量来打包指代所有这些相关信息;对于那些我们不知道的信息,则只能以概率性的方式来描述它们。而“测量”则是一个从系统获取信息、消除不确定度的行为,因而事实上我们获知了更多的信息,从而对我们的建模产生了影响:至少对于刚刚测量的这一物理量,我们可以不再用概率而是用确知值来描述,或者至少,用一个分布更加集中的概率来描述;这也就是说我们对系统态的建模(即态矢)变成了一个本征矢或者是本征矢附近的集合。比方说,若在一次测量之后立即进行下一次测量,我们就不能再说“得到某个结果的概率”,因为事实上我们已经得到结果了。借用狄拉克的话说:“测量总是导致系统跳到被测量的动力学变量的一个本征态上。” 这种系统从原态矢“跳到”或者说“抛进(樱井纯语)”某一本征态或子空间的过程,显然可以用投影算符来表示,即测量前处于归一化 但是注意到我们一直要求前后的本征矢都是归一化的,而单纯的投影并不能保证这一要求;于是一般还需要添加一个因子来归一化,使得实际的态矢变化更像某种“旋转”。以最简单的测得单一本征值为例,设这个因子为
则 测量前处于归一化 特别地,对于非简并的本征值
可见结果就是对应的本征矢。 而若对于简并的本征值
其中 注:虽然测量后的态矢一定属于 1.5 演化假定 态矢随时间的演化满足薛定谔方程 \boldsymbol{{\rm i}\hbar\frac{\rm d}{{\rm d}t}|\psi(t)\rangle=H(t)|\psi(t)\rangle} ,其中 \boldsymbol{H(t)} 是与系统总能量相联系的观察算符,称为哈密顿算符。这一假设即是薛定谔提出的波动力学的基础。 关于这一假定,其实还可以联系到一个比较重要的话题——演化算符,用以描述量子系统的任何与外部操作无关的“规范性”演化。这类演化不是厄密或者自伴算符,而是用幺正算符(数学上称酉算符)来描述。这将在后面详细讨论。 2. 正则量子化 上一节给出了关于构建一个自洽的量子理论的公理基础框架;但是具体怎样得到理论的细节,例如可观测量假定中算符的具体形式如何,这些还都需要进一步的讨论。 有关这些内容的问题,大都可以被归结为寻找合适的“量子化方法”,来将我们在宏观要进行测量的物理量,转化为量子理论中的对象,最常见的便是本小节将要介绍的“正则量子化”,它与经典力学中的哈密顿力学直接相关。 正则量子化的基本思想是,要构造一个完整的量子理论,由于我们要寻找的物理量(至少是大部分物理量,除去少部分没有宏观对应的,例如自旋)基本上都是从宏观理论启发而来,且宏观与微观理论一定是相容的,因此可以借助宏观物理量之间的关系来尝试对微观进行刻画,也就是利用熟知的哈密顿力学,来尝试是否可以移植到基于前述基本假定的框架之中,至少看看能否找到类似的关系。 因此正则量子化的基本任务就是,对于经典力学中给定的物理量 2.1 正则量子化规则陈述 首先复习一下哈密顿力学。对于处于标量势场中的单粒子,它的运动状态完全由位置 于是正则量子化的规则陈述如下: 1)首先考虑处于标量势场中的一个无自旋粒子, 描述位置 描述共轭动量 2)任一具有经典对应 下面是几个要点: 泊松括号——算符对易子(李括号)注意到这里算符
其实也是承自经典正则关系(泊松括号)
事实上正则量子化就将哈密顿力学中的 由于经典内积可交换:
例如自旋,并不能从经典力学获知它表达式的启发。对于这类量,将直接由对应的观察算符定义给出。 下面以哈密顿算符为例,给出两个例子。 2.2 标量势场中的哈密顿算符 在经典力学中考虑一个质量为
根据上述规则,其正则量子化容易导出,即考虑处于同样条件下的无自旋微观粒子,哈密顿算符为:
于是薛定谔方程为
2.3 矢量势场中的哈密顿算符 现在考虑处于矢量势场(例如,电磁场)中的粒子情形。经典哈密顿函数为
其中
薛定谔方程为
第一节中我们给出了量子力学理论框架的基本假设和有关正则量子化的基本概述;具体的物理意义和解释,将会在下面的几节之中逐步给出。 二、关于可观测量及其测量的假定的物理解释本节重点解释第三、四条假定的物理意义。 1. 量子化规则与波函数的概率诠释 前面的分析已经自然地引导我们将观察算符 详细讨论这一对应关系十分必要。简便起见考虑一维情形,假设粒子处于归一化的态 另一方面,对于粒子动量的测量也有类似的结论,即根据假定四,测量其动量所得结果介于坐标区间 2. 某些物理量的量子化 “量子化”的本意是指,不同于经典力学中很多物理量取值都是连续变化的,实验中某些情况下测得这些物理量的取值只能取分立的值;或者在某些理论中,需要假定物理量的确具有这种分立取值的特点才能合理解释某些现象。 当然这并不是绝对的:一方面,并非所有物理量在量子理论中一定都是量子化的;另一方面,同一个物理量的取值是否是量子化的,在不同的物理系统中也不尽然相同。这具体取决于观察算符的谱,而谱的形式又与系统各种条件密切相关。 这个逻辑表明,一个特定的系统中物理量是否量子化,绝非是先验的。 3. 测量的机制 第三、第四个假设,事实上引出了一些根本性的复杂问题,涉及到对于量子力学理论的基本诠释——即理论从应用的角度来说,关于各种物理量计算的框架和细节都已经十分完备;但是对于它们的解释却众说纷纭,未成定论。 在这里不去纠缠于这些深层次的内容,但是需要特别指出的是:在理论研究中我们常常默认离开测量仪器而孤立地研究所观察的物理系统对象,然而事实上我们作为研究主体,与客体对象之间建立联系的过程中,测量仪器是至关重要的——要获得某一物理系统的测量值,即便是最简单的量子系统,也必须通过测量仪器(同样作为一个极其复杂的物理对象)与之耦合作用。而这就不可避免地对原系统产生干扰。 在经典力学中,无数常识和结果已经验证了,一个设计合理的测量系统对于宏观对象系统的这种干扰,相比于系统本身的运动尺度通常是非常小的,因而可以忽略;但是没有证据表明我们可以在微观系统仍然沿用这种忽略的默认。事实上我们本应考虑的是测量仪器与物理对象的整体系统,但是,这样势必会使得物理系统的复杂度极大提升,同时也会引起关于测量的详细机制的一些微妙问题。 这里仅仅指出,关于第三、四调价顶的非决定性(概率性)表述,以及波函数的异常行为(所谓坍缩),都与上面提到的这些问题有关,粗略来说,即可以看作是测量仪器对系统干扰的反映;但是由于这种干扰基本是无法预测的,因而测量结果也是非确定的。 还应当指出,这里所指的测量只考虑理想测量。例如检偏器总会吸收一些它本应允许通过的光子;但是在理想测量假定下,我们通常不考虑这种仪器因与测量无关的性质引起的误差,而完全归结为测量这一行为的量子机制。 4. 可观测量在指定态中的期望 第三条假定所给出的表述是概率性的;但是单次测量得到的结果却一定是确定值。为了验证这种假定,必须要对物理系统在全同条件下进行极多次测量——当然全同条件是难以达到的,一次测量就会破坏原有条件,这实际上需要引入系综,但是这里不详细讨论这一点——如果这一假定给出的预言是正确的,那么应当在测量次数 在给定态
下面证明这一点。 首先考虑纯粹离散谱的情况:在对
且概率满足归一化条件
这里利用了概率的定义。再将
由于 即证。 继续考虑连续谱:在对
且概率满足归一化条件
这里利用了概率的定义。再将
由于
即证。 注意: 这里的期望
又如在动量表象下计算动量的期望
还可在坐标表象下计算动量的期望
5. 标准差——方均根偏差 期望 一般情况下,刻画一组数据的离散程度,通常会用数学上的方均根偏差,即标准差,记作
最后,为了使得偏差的量纲与测量值量纲相同,因此再开方即可得到方均根偏差——标准差:
代入前面均值期望的表达式
于是给出了计算标准差的另一个方法,即分别计算 在物理上,方均根偏差,或称标准差,一般被直观地解释为测量值的不确定度。 三、可观测量的相容性与不确定性本节进一步针对可观测量之间的关系,对第三条假定做一些讨论。 1. 相容性与对易性 考虑两对易的观察算符:
因此对于任意的本征值 下面更细致地讨论一下对于处在任意(归一化)态
一般说来它并不是共同本征矢,因而不能同时完全确定测量值。假设对它的测量行为是:刚刚测量 首先测量
所以条件概率 于是联合概率
此外,在完成第二次测量之后系统的态变为
由此可知,若立即重新测量 另一方面,假设交换两个可观测量的测量顺序,那么第一次测量
第二次测量
于是
可见,交换顺序后,无论是测量结果还是测量后对系统产生的影响,都与之前一样。由此可以得出:对于相容的可观测量,无论测量顺序如何,得到的物理结果没有影响;测量结束后系统的状态也没有影响。 换句话说,相容的可观测量,测量一个不会对另一个的测量造成信息损失;测量顺序也无关紧要,或者说,可以同时测量。 2. 不确定性与(共轭)非对易性 与之对比的是不可对易的可观测量,那么一般说来,一个态矢不可能同时为两个不可对易观察算符的本征矢,也就是不存在能够同时确定两个可观测量的态(某些情况下,也许存在一些右矢同时是 回顾之前讨论不确定性原理,当时给出的下限只是一个大致值,因为当时对于不确定度还没有准确定义。现在通过标准差给出了精确的定义,于是将之应用于可观测量
此即关于位置和动量的海森堡不确定性关系的精确表达式。下面来证明并讨论这一关系的普遍形式,即两个共轭可观测量的方均根偏差。 2.1 关于两个共轭可观测量的不确定度关系 若两个可观测量
不论实参量
这是关于
现在引入两个新的可观测量
显然
考虑到方均根偏差的定义:
可见对于任意两个共轭的可观测量,其不确定度的乘积 进一步地,上述结论其实可以推广到任意的两个可观测量之间:
应当说明,无论是哪种情况,上述不等式都应当理解为作用于明确的态;对于不同的态而言,其不确定度乘积可能不同,但是始终都在下界之上。 2.2 “极小”波包 预期当前述不确定性关系取等号的时候应当是一个极限情况。若对于某个态 回顾前面的证明过程,右矢
解得 而模方为零即表明,此时的态满足
在观察算符
引入一个函数
它的解为
只需令 可见:当不确定度的乘积 2.3 非对易(不相容)可观测量的测量顺序 前面曾经证明相容可观测量的测量结果与顺序无关,且互相之间不会产生信息损失;但是在非对易可观测量情况下前面的推导就不再成立了。 简言之,对于非对易可观测量量
再设两组本征矢分别在对方表象下的分解:
若先测量 此外,测量得到同一组结果的概率:
虽然 换句话说,非对易的可观测量是不能同时测量的;后面的测量会抹去第一次测量所得的信息,即第二次测量会立即使得系统的第一个可观测量的值发生改变,因此再重新测量第一个可观测量,结果是不确定的。 3. 态的制备与CSCO 所谓态的制备,就是指获得一个特定的量子态——这里的特定是指,对于我们所关心的可观测量,给定一组测量值,对应的量子态可以被完全确定(态矢仅差一个复常数)。为了设计这种制备方法,首先讨论观测值与末态的关系。 假定四中已经证明,考虑处于态 另一方面,若测得简并的本征值
诸系数 但是假若考虑一对相容可观测量
这时再次有知道测量值终态也与初态有关。如想消除这种不确定性,则还需要继续引入相容的可观测量来构成一个CSCO。 这个过程进一步体现了引入CSCO的必要性:为使系统在测量之后终态可以被唯一地确定,被测量必须构成一个CSCO。 因此制备一个处在完全确定的量子态系统的方法,可以通过类似获得偏振光的方法,即设计这样一种仪器,它针对某可观测量,使得仅有特定本征值的态能通过;再通过我们所关心的可观测量构成的CSCO,依次将针对不同可观测量的仪器串联,这样输入一大批任意态,就能够筛选出特定的态。 对于态空间中的任一态,只要适当地选取CSCO,就一定能够筛选出它。 四、薛定谔方程的物理意义本节重点解释第五条假定的物理意义。 1. 薛定谔方程的普遍性质 1.1 物理体系演化的确定性 薛定谔方程
是关于时间 1.2 叠加原理 薛定谔方程是齐次线性的,因而它的解满足叠加原理,即: 假设 由此可见初态 2. 概率守恒 2.1 态矢量模方恒定 考虑态矢量模方随时间的变化情况:
其中根据薛定谔方程
由哈密顿算符
于是将这两式代回得到
可知态矢量的模方不随时间演化而改变,它是一个守恒量。从概率诠释的角度来讲,这是非常重要的一条性质,因为选取一个表象
可见态矢的归一化等价于波函数的归一化;态矢的模方恒定意味着在该表象下粒子的概率密度函数在全域上的积分恒定(例如,对于坐标表象,就意味着在全空间找到粒子的概率不变),亦即总概率是不变的且为1:这才是能够将 2.2 概率的局域守恒;概率密度和概率流 仅考虑无自旋单粒子,设其在坐标表象
为概率密度,表明在时刻 虽然
考虑坐标表象下的薛定谔方程及其共轭复数式
于是就可得到
即
于是只要定义“概率流”为
则上式就能够写成
此即数学上的守恒流方程,在这里被称为概率的局域守恒关系式,表示在一个确定局域内部的概率密度的变化量与边界上概率流的通量之和为零。 事实上相比于先验地指定概率密度就是波函数的模方,构造“满足守恒流方程”才是更符合逻辑的对概率密度和概率流的定义;例如,在狄拉克方程中,概率密度就不再是波函数的模方,而是依靠构造守恒流方程来满足概率的局部守恒,这样才能赋予某个量以概率密度或概率流的物理意义。因此,指定波函数模方为概率密度,绝非是先验的,而是基于物理意义的情况。注意到概率流的定义,事实上并非仅是数学凑成的,实际也具有物理动机。考虑如下算符
它在态
可见概率流实际上是算符 另一方面
可见概率密度实际上是算符 而考虑算符
其中算符 另外,若粒子不单处于标量势场中,还有矢量场
这可以直接从经典对应的机械动量与正则动量之间的关系得到。 最后考虑一个平面波的例子,即
其中利用了色散关系 当然,此时的概率流矢量场在无穷远处也具有恒定的大小,这种奇异性仍然是出于“平面波不是真实的物理状态”的原因;对于实际的局域波包,其概率密度和概率流自然都是分布在有限区域内的。 3. 可观测量的期望随时间的演变 可观测量的期望有可能是随时间而变化的: 一方面,物理系统的态本身可能就是在随时间演化的,那么显然对它的任意可观测量的期望也将会随时间变化(即便可观测量本身不随时间变化): 另一方面,可观测量本身也有可能是时变的,典型例子如时变的标量场中粒子的哈密顿算符就是时变的,这种情况下 3.1 普遍情况
其中前两项代表由态矢的演化引起的期望变化,可由薛定谔方程代入推导;后一项代表可观测量本身的变化引起的期望变化。于是
此式又可写作
应当指出,它与经典哈密顿力学中的关系
是对应的,而我们这里可以讨论一下经典力学量 当它过渡到量子理论的时候,我们把力学量 3.2 应用到可观测量 首先考虑一个时间无关标量势场
不显含时间,且分为的两部分分别仅与
第二式利用了算符的函数的对易子的结论;这里
此即埃伦费斯特定理。它的经典对应物正是哈密顿-雅可比方程,在这里的简单情况下退化为牛顿方程:
下面分析埃伦费斯特定理的物理意义。假设波函数 需要注意,量子力学中粒子永远没有轨道可言,这个所谓的“波包中心轨道”只不过是一种近似描述,当波包宽度相比于问题涉及的尺度很小的时候,这种近似程度就比较好;在极限情况下,我们通过这种量子近似描述获得的结论,就应当回到经典理论。 于是最显然的问题就是,波包中心的运动是否满足经典力学规律。根据埃伦费斯特定理,
如果方程左边是作用在波包中心的经典力 于是埃伦费斯特定理的物理意义,实际上指出了两点: 1)运动学:波包中心的“坐标”与“动量”,即波包坐标与动量的期望之间的关系,也满足一般粒子坐标与动量的运动学关系; 2)动力学:作用在波包整体上的力,决定波包中心的运动,这种决定方式形式上可以回归到经典规律,只不过力项不是单独作用在波包中心的力而是作用在波包整体上的力。 但是对于某些特殊情况(称之为准经典情况),上面的
要使两者近似相等,就要求
也即 4. 保守体系 从薛定谔方程中可以看出,给定初态后,一个系统的哈密顿算符 本节下面全部讨论都是在保守系中进行的。 4.1 薛定谔方程的解 首先考虑
全体
上面利用了
解之得
可见只要知道了 1)将初态 2)对任意的 上面的结果也可自然推广到连续谱: 这一结果正是哈密顿算符可以决定系统演化这一论述的表现。 4.2 定态 一个重要情况就是,初态 现在要计算任意
可见它与初态之间仅差一个总的相因子,因而在物理上来说表征的是同一个量子态。这就得到一个结论:若 那么量子意义的能量守恒也就呼之欲出了:若 回过头来,用刚才的观点重新来看态演化的本质:由于态的模长始终取归一化(事实上模长也并无影响),因此所谓初态演化到一个新的不同的态,本质上就是它在所选取的基下的分量改变了,导致测量的概率性结果出现了不同,因此我们才能区分它们为不同的态。 哈密顿算符如何影响态的演化?通过对每个展开系数 4.3 运动常量 经典力学中,运动常量定义为在系统演化过程中,不显含时间
可见经典运动常量的值不随时间改变,事实上这也是它得名的原因。特别地,对于保守系统来说,哈密顿函数 在量子力学中运动常量的定义仍然成立,只不过将泊松括号换成对易子:
我们将会从三个角度讨论“运动常量”在量子力学所代表的“守恒”意义。 事实上上面刚刚给出了第一重意义:作为运动常量的可观测量 下面考虑由于运动常量
指标 但是需要注意的是,并不是每一个定态一定都是 最后来说明第三重意义:在任意态
根据前面的结论得到
于是
可见在任意时刻测量结果得到 事实上只要测量过 4.4 玻尔频率;选择定则 本节将会看到一个保守系统如何自然地产生一个特征频率。假设任一可观测量
此外,对于保守系统来说,给定初态 首先写出
于是
现在假设
该级数中的每一项的振荡频率 这一结论的重要意义在于,任一保守系统中所有的物理量的期望都以各种玻尔频率的线性组合进行振荡,这些频率的取值与可观测量 特别地,若对于某些值 此外,利用这一展开式还可直接证明,运动常量的期望永远与时间无关。 4.5 时间-能量不确定度关系式 假设系统处于 现在假设
于是
因此若对其测量能量,得到的结果只能是
而对于一个任意的、与
这个概率以频率
于是得到关系 在连续谱的情况下,初态最普遍的形式
于是
同样计算概率:
一般情况下,假若
可见这个概率在一定近似情况下,正是
这一关系在离散和连续的情况中都出现,一般被称为“第四海森堡不确定性关系”(前三个分别是坐标和动量的三对分量);但是它与坐标和动量的类似关系显然不同, 因为这里的时间不是某个算符的测量值,而是一个参数。 五、叠加原理和物理上的预言现在还有待考察第一个假定的物理意义。按照该假定,叠加原理可以自然导出。这一家顶的重要后果之一,就是所谓的“干涉现象”,一般被称为“波粒二象性”;这一类现象的解释需要我们对概率幅概念的精确讨论。 1. 概率幅与干涉效应 1.1 态的线性叠加的物理意义 首先应当区分“线性叠加”与“统计混合”的区别。具体来说,设两个正交归一的态
现在考虑两个态的线性叠加构成一个新的归一化态
关于这一线性叠加现象的正确表述是:对 这要区别于所谓“态的统计混合”:由 不应混淆两者;他们将会导致完全不同的物理结果。下面的例子会说明这一点。 对于线性叠加态
但若是对于态的统计混合,对该集合中的每一个态都进行测量
显然得到的结果不相同,因此不能将态的叠加简单地理解为态之间机械的混合;事实上关键的区别在于 关于线性叠加与统计混合的一个经典参考,可以考虑光的偏振现象:两个线偏振光的叠加(假若叠加系数都是实数)仍是一个线偏振光,而统计混合则是非偏振光;此外叠加系数的相对相位也会产生影响,即若引入复数作为叠加系数,则有可能产生左旋或右旋的圆偏振光。 1.2 对中间态求和 考虑如下两个过程: 1)连续测量非对易可观测量
2)连续测量非对易可观测量
上述两个过程中,测量 如果仅关心初末态,即系统从 与此同时,在第一个过程中,尽管并没有测量 为了讨论两个概率之间的联系,我们按照上面的想法,将
这就反映出了“量子路径”与经典路径之间的本质差异:如若是经典概率,那么将可以预期
但是量子概率中多出了交叉项
这一部分正是前面提到过的“干涉项”,也就是说,量子的各条路径之间存在相互作用的干涉效应,这在经典概率中是不存在的。 因此,如若我们没有通过实验来决定系统通过的是哪个量子路径的中间态,那么应当对概率幅求和,而非对概率求和。 综合前两节,我们看到重复出现的“干涉项”是很重要的,而它正是来源于对不同概率之间的交叉干涉作用;无论是线性叠加的不同部分还是演化的不同中间态,“概率”都是通过“概率幅”来产生的。可见在量子力学中,本质的是概率幅,而概率则更多的是作为宏观观测者的我们的理解手段。 2. 若干个态与同一测量结果相联系的情况 2.1 本征值简并的情况 前面讨论的都是非简并的简单情况;实际上推广为简并是很简单的。 例如线性叠加态,其测量
又如不同路径之间的干涉,假若
2.2 实际(而非理想)测量仪器 实际的测量仪器并没有无限精度,总需要一定的判断裕度;并且只能判断测量值而不能判断测量之后系统所处的状态。因而我们可以设计这样一种测量仪器:对于 1)若系统处于 2)若系统处于 可见这一仪器的功能是针对可能出现的本征值 假若在区间 进一步地,为便于描述仪器对于物理系统的扰动,我们可以假设:第一类的那些物理态,都可以通过仪器传输而不受扰动;而第二类那些物理态则不能通过仪器。 在量子层面上来描述这种性能不佳仪器的特性,有助于我们分析例如假若将任意态 考虑这样一个投影算符
它对应着区间 于是对于一个任意态
与理论值相比较
可见仪器相当于就是将分辨精度内的不同本征值对应的概率做了一个求和。 同样地,由于仪器仅允许部分本征态通过,那么对于一个任意态
即原态 2.3 概要:概率幅求和还是概率求和? 上面我们看到了对于求和对象的两种情况:对概率幅求和,以及对于概率求和。总结一下,两者是不矛盾的,可以叙述为: 先将对应于同一末态的诸概率幅相加,然后再将对应于正交末态的诸概率相加。 注: 1)所谓对应于同一末态,包括线性叠加、不同路径的叠加等; 2)所谓对应于正交末态,包括属于同一本征值的不同本征矢、属于不同本征值的本征矢等。 2.4 应用于连续谱 对于实际测量仪器来说,由于不可能“区间 考虑一个具体例子,假定具有连续谱的可观测量
于是若性能不佳仪器对于值
同样地,在得到“
这里投影算符的定义为
它对应的波函数为
为突出重点,归一化因子简记为
当然,若得到的结果为 直观来看,波函数的形状只有仪器允许通过的那段是无畸变的(只是为了整体归一化而调整了大小);其余部分则被测量所抑制,就像原始波包被“切割”了一样。通过这个例子可以更清晰地看到波包“坍缩”的实际操作意义。 当然,在仪器精度足够好的情况下,区间宽度
可见它的极限值就回到了假定三给出的理论值。 |
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