【小白教程】论积分为什么要加dx（深入理解积分）

经常玩数学的都知道，任何积分都要加微分符号，但是，很少有人知道为什么我们学过的积分后面要加dx。尤其是不定积分。

我们要探究这个看起来复杂且晦涩的式子的意义，假设f(z)图像是这样的：

如图，函数下面的区域被分成了T个小长方形，我们使它们的宽一定，即(β-α)/T，长为宽的区域内的任意一点所对应函数值，我们把第i个小长方形宽上取到的那一点记作zi（i=1，2，3，...），则这个小正方形的面积是f(zi)*(β-α)/T。

我们都知道，定积分的几何意义是函数在上下限所规定的区间内其图像下方的面积。我们现在对这些小正方形求和，便能得到总面积的近似值：

本up通过编程，来验证这个公式的正确性（这里e取的是2.718）：

真实的结果保留九位小数是后是7.741035471，我们发现，分的长方形T越多，计算的值与真实值的误差越小。于是，我们令T为无穷大（即无限逼近无穷大），则整个式子无限逼近于真实结果。（学过极限的都知道，无限逼近就可以看成等于）

此时的公式还可以写成：

我们注意到T趋于无穷大（这个无穷大指的是[β,α]内的所有元素的个数）时，(β-α)/T趋于0，这不就可以被看成是对自变量z的微分了吗~于是式子更加简洁：

于是积分有了代数定义：连续实数求和（普通的求和是对自然数求和）。

于是便有了以下记法：

接下来探讨定积分的求法。

仅通过之前推出来的公式

能得到它的近似值，但是我们更希望求出它的代数表达形。

我们令f(z)=F'(z)

式2到式3我们用到了微分的定义f'(z)=df(z)，上面的求解中我们把F(z)看作微分定义中的f(z)，把f(z)看作微分定义中的f'(z)。

我们借助一个图来直观理解式3到式4的过程（这里看不懂可以跳过）：

把图中的红线当作F(z),图中的黄线段即是这个区间内的自变量增量（我们将其记作Δz），黑线段是这个函数的增量（我们将其记作Δy）。如果我们使Δz→0，对Δy求和，可以把图中的表示函数增量的黑色线段通通平移到右边的蓝线段。蓝线段的长度表示的就是从区间开始的函数值与区间结束的函数值的差，即F(α)-F(β)。这是他的几何解释

使Δz→0，则Δy=dF(z)也就变成了F(z)的微分，区间的大小不能变，此时便有无限个增量Δy，所以对它在区间[β,α]内的连续求和等同于对它从α到β积分。而对增量求和，便是其函数值的差：

这就是微积分基本定理：

很多人误以为不定积分是求导的逆运算，而up认为不然。教材上有一句话：导数是微分的逆运算。在此，我给出自己的解释。

有一个函数f(z)，他的微分就是df(z)。而对df(z)求微分，就是原来的函数f(z)，即：

就这个定义，我们令f'(z)=Z,Z显然是对z的函数。根据微分的定义，易知df(z)=f'(z)dz=Zdz。

其中Z(z)是f(z)的导数，显然不定积分有了另一个意义：求Z(z)的原函数。

注：原函数指的是已知一个函数的导数，求这个函数。

据以上的分析可以知道，不定积分是对一个无穷小（一个函数的微分）积分，如果不加dx的话。。。。。。

以后有人问我不加dx的积分，终于能有理由和他抬杠了（笑）

===============================The End================================

制作不易，投个。。咦？

由约等式

直接得出

现在考虑T→∞的情况，此时的(β-α)/T→0。。。。

（up开始瞎编了）

制作不易，投个币吧~

*注：本篇文章的任何图片均由up本人制作，如有错误，欢迎纠正*