常用的反常积分结论之 e 积分

$$\int_{0}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?$$

$$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?$$

$$\int_{- \infty}^{0} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?$$

Tips:

关于考研数学中涉及 $e^{x}$ 的一些计算技巧，可以查看《考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子》这篇文章。

以下结论记住即可（有时候积分变量可能没有写成 $x$, 而是写成了 $t$, $k$ 等，但结论都是一样的）：

$$\int_{0}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

$$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \sqrt{\pi}$$

$$\int_{- \infty}^{0} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

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