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(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x. 设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x0,y0)处相切, 则有y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)= 解得x0=e2, (2) 曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线 令 ∴φ′(2)=0. 当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减; 当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为 当0<m< 当 当 综上所述,当x>0时, 若0<m< 若 若 (3)解法一:可以证明 事实上,
令 则 ∴ψ(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴x>0时,ψ(x)>ψ(0)=0. 令x=b-a,即得(*)式,结论得证。 解法二: = = 设函数u(x)=xex+x-2ex+2(x≥0), 则u′(x)=ex+xex+1-2ex, 令h(x)=u′(x),则h′(x)=ex+ex+xex-2ex=xex≥0(仅当x=0时等号成立), ∴u′(x)单调递增, ∴当x>0时,u′(x)>u′(0)=0, ∴u(x)单调递增。 当x>0时,u(x)>u(0)=0. 令x=b-a,则得(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2>0, ∴ 因此, |
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