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双线性函数
双线性函数
定义:V是数域P上一个线性空间,
1. 2. 则称 注:双线性函数在一个变元固定时,是另一个变元的线性函数 例: 1.欧氏空间V的内积是V上双线性函数 2.设 则 3.设 若设 则
取V的一组基 设 则 令 则 定义:设 称为 注:取定V的一组基后,每个双线性函数都对应于一个n级矩阵,即这个双线性函数在基下的度量矩阵,度量矩阵被双线性函数及基唯一确定,且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵不同 反之,任给数域P上一个n级矩阵 对V中任意向量 其中 用 易知 故在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间有一个双射 不同基下的双线性函数的度量矩阵 设
则 若双线性函数 又 故 注:说明同一双线性函数在不同基下的度量矩阵合同 非退化定义:设 可用度量矩阵判断一个双线性函数是否非退化 设双线性函数 若向量 故 故易证双线性函数 |
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