「双曲函数」为什么要叫双曲函数？到底应该怎样定义双曲函数？

如果问“山为什么叫山？”、“水为什么叫水？”，我们只能说，这是中国人（汉族人）长期语言交流实践约定俗成下来的。

但如果问“双曲函数为什么要叫双曲函数”，那么回答就不一样了，我们来看一下这个词，它叫“双曲函数”，前两个字是“双曲”……这很容易让我们联想到中学时学过的一种圆锥曲线——双曲线。“双曲函数”和“双曲线”两个数学名词中都有“双曲”这两个字，这绝不是巧合。

直观上讲，双曲线就是“两条曲线”的意思，实际上是因为按照双曲线的定义，相应的图形并不是“连续”的。这样做个比喻，如果没有地球，地是平的，并且这个平地是一个没有边界的大花园，而花园中有一个双曲线花园小路，那么在其中一支小路上行走的人无论怎么走都不会走到另一支小路上。直观上看，真的像是“两条曲线”，所以这个图形就被称作是“双曲线”了。然而不是随便的两条永不相交的曲线都能叫“双曲线”。双曲线有着严格的定义：平面上到两点距离之差等于一个比两点距离小的非零定值的点的集合称作双曲线。若双曲线的实轴与 x 轴重合，则双曲线的方程是 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ，其中 a^2+b^2=c^2 ， c 是定义中所述的两点之间的距离的一半，这两个点被称作焦点，而 c 称作半焦距。

值得一提的是，反比例函数的图象也是双曲线，反比例函数是形如 f(x)=\frac{k}{x} （ k\neq0 ）的函数，而曲线 y=\frac{k}{x} 则是双曲线。学过二次型应该知道，曲线方程 y=\frac{k}{x} 可化为 xy=k ，并进一步化为矩阵乘法的形式 (x, y)\left(\begin{matrix}0&\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=k 对方程左边做二次型的正交变换，得（ x, y 仍满足 xy=k ） (x, y)\left(\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=2k 取 (u, v)=(x, y)\left(\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right) ，则方程将变换为 (u, v)\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=2k ，即 u^2-v^2=2k ，这说明反比例函数图象确实是双曲线，顺时针旋转 45° 后实轴在 x 轴上。

事实上，双曲函数就是借助双曲线定义的，不过这里的双曲线不是随便的一条双曲线，而是实轴在 x 轴上的标准双曲线，即双曲线 x^2-y^2=1 ．六个双曲函数都是类比三角函数定义的。首先我们来看三角函数的定义：

设点 P 是圆 x^2+y^2=1 上的一个从点 (1, 0) 出发的动点， t 的绝对值为点 P 运动的路程，若 P 逆时针做圆周运动则 t>0 ，若 P 顺时针做圆周运动则 ty>0 时面积取正数，当 y