[快乐数学]双曲函数(二)

一咬牙，一狠心还是决定把双曲函数的性质给讲了。

先一个一个慢慢捋，从最基本的几个性质开始。

本期只研究y=sinhx和y=coshx两个函数，如无特殊说明，以下所有内容自变量的定义域均为全体实数。

研究函数要先从定义域开始研究。

f(x)=sinhx定义域为R，值域也为R

f(x)=coshx定义域为R，值域也为R

下面研究函数的奇偶性

双曲正弦是奇函数。

正弦函数也是奇函数。

因为sinhx=-sinh(-x)且定义域关于原点对称。

因为coshx=cosh(-x)，且定义域关于原点对称

所以双曲余弦是偶函数。

余弦函数也是偶函数。

这个看图像也能感觉出来，不过咱还是严密的证明一下。

双曲正弦的导函数是

恒为正数，故双曲正弦在x∈R上单调递增。

双曲余弦的导函数为

在x∈[0，+∞)时导函数大于等于0，为增函数。

由奇偶性即可得到

双曲余弦函数在(-∞，0]上为减函数。

其实这个应该放到前面的。我也是想到一个性质就写一个性质的，所以顺序有点不对。

双曲正弦和双曲余弦都是初等函数，咱们前面证明过初等函数在其定义域内是连续函数。

我们刚刚已经求过双曲正弦函数和双曲余弦函数的导函数了，根据可导必然连续也能得到这个结果。

正弦函数和余弦函数在其定义域内也是连续函数。

这四个函数在其定义域内都是可导、可微、连续的。(不是所有函数都这样的，比如狄利克雷函数D(x))

不难看出，双曲正弦和双曲函数在实数域内没有周期性。

这标题是我自己起的啊，我以前也没听过什么双曲恒等变换。

和三角函数类似，咱们推一个和角或者差角公式做母公式就可以了。

在三角函数中先得到的是cos(x-y)嘛

那我们也先推导这个好了。

注意

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

与上面的公式仅仅一符号之差。

基于以上公式我们还能得到更多

你会发现三角函数和双曲函数相似度非常高，下面我们将从代数的角度探寻它们间的关系。

之前咱们总是用双曲函数接近三角函数，这次咱们换个思路用三角函数接近双曲函数。

得用点复数的知识

咱们上欧拉公式

(从这里开始三角函数和双曲函数将和复数建立联系，下一期咱们还要介绍一类新的数——双曲复数，敬请期待)

然后解个方程组就能得到

不难发现

既然咱们已经上升到复数了，那么我再补充一下双曲函数的周期性问题

双曲正弦和双曲余弦的周期是2πi。

复数情况下双曲正弦、双曲余弦、正弦函数、余弦函数的图像如下

(图中的颜色是另一个“坐标轴”)

直观地看，同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的，因为

对于复变函数来说，乘i就相当于逆时针旋转90°，这两个式子说明两个函数仅通过旋转就能重合。

这里提到了复变函数这个词，这也是咱们第一次讨论复变函数的问题。

复变函数的水真的真的超级深也真的真的超级超级超级有趣。

刚刚提到了欧拉公式这个东西，下面来点说明。

这里要用到高等数学中的麦克劳林展开和泰勒展开，我直接说结论，等咱的高数篇推到的时候你就懂啦。

以ix替代x代入e的x次方得到

这就是大名鼎鼎的欧拉公式了。

等等？？？谁告诉你e的ix这种运算是合法的？你定义了吗？

在我们没有定义复变指数函数之前，把ix放入e的指数位置上是不合法的！

虽然欧拉还是那么做了(笑

事实上，在现代数学理论中我们并不认为欧拉公式是证明出来的。

而是把欧拉公式作为复变指数函数的副产品，作为它的定义

然后再得到欧拉公式。

而我们刚刚的“证明”这是为我们这种定义提供了理论依据，因为我们要保证新的定义不能和以前的理论相抵触。而这一切都是来源于大胆假设和严密推理，各位以后也不要害怕做这种“非法”的事情。

这就是个结尾。