数学笔记（三)用参数方程表示的平面的法向量

一个平面可以用参数方程这样表示：

{ x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) \left\{\begin{aligned}x&=x(u,v)\\y&=y(u,v)\\z&=z(u,v)\end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=x(u,v)=y(u,v)=z(u,v)​

例如球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x^2+y^2+z^2=1 x2+y2+z2=1 用参数方程可表示为

{ x = s i n ϕ c o s θ y = s i n ϕ s i n θ z = c o s ϕ \left\{\begin{aligned}x&=sin\phi cos\theta\\y&=sin\phi sin\theta\\z&=cos\phi\end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=sinϕcosθ=sinϕsinθ=cosϕ​

柱面 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1用参数方程表示为

{ x = c o s θ y = s i n θ z = z \left\{\begin{aligned}x&=cos\theta\\y&=sin\theta \\z &= z\end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=cosθ=sinθ=z​

现在给定任意一个用参数方程表示的曲面，如何求取它法向量？

设当 u = u 0 , v = v 0 u=u_0,v=v_0 u=u0​,v=v0​ 时,平面上取点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)。

固定 u = u 0 u=u_0 u=u0​不变，得到经过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)的一条曲线：

{ x = x ( u 0 , v ) y = y ( u 0 , v ) z = z ( u 0 , v ) \left\{\begin{aligned}x&=x(u_0,v)\\y&=y(u_0,v)\\z&=z(u_0,v)\end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=x(u0​,v)=y(u0​,v)=z(u0​,v)​

显然这条曲线在平面上，它在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)处的切线方向向量为

s 1 ⃗ = ( ∂ x ∂ v , ∂ y ∂ v , ∂ z ∂ v ) \vec{s_1}=(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v}) s1​ ​=(∂v∂x​,∂v∂y​,∂v∂z​)

同理固定 v = v 0 v=v_0 v=v0​ 不变，得到另一条曲线在点 （ x 0 , y 0 , z 0 ） （x_0,y_0,z_0） （x0​,y0​,z0​）处切线方向向量为：

s 2 ⃗ = ( ∂ x ∂ u , ∂ y ∂ u , ∂ z ∂ u ) \vec{s_2}=(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}) s2​ ​=(∂u∂x​,∂u∂y​,∂u∂z​).

(注：这里的 ∂ x ∂ v \frac{\partial x}{\partial v} ∂v∂x​)指的不是偏导函数，而是偏导数在 ( u 0 , v 0 ) (u_0,v_0) (u0​,v0​)点处的取值.

s ⃗ 1 , s ⃗ 2 \vec s_1,\vec s_2 s 1​,s 2​所决定的平面就是点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)处的切平面。故法向量 n ⃗ = s ⃗ 1 × s ⃗ 2 \vec n =\vec s_1 \times \vec s_2 n =s 1​×s 2​.

s 1 ⃗ × s 2 ⃗ \vec{s_1} \times \vec {s_2} s1​ ​×s2​ ​

= ( x v , y v , z v ) × ( x u , y u , z u ) =(x_v,y_v,z_v) \times (x_u,y_u,z_u) =(xv​,yv​,zv​)×(xu​,yu​,zu​)

= ( y v z u − y u z v , x u z v − x v z u , x v y u − x u y v ) = (y_vz_u-y_uz_v,x_uz_v-x_vz_u,x_vy_u-x_uy_v) =(yv​zu​−yu​zv​,xu​zv​−xv​zu​,xv​yu​−xu​yv​)

= − ( ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) , ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) , ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ) =-(\frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}) =−(∂(u,v)∂(y,z)​,∂(u,v)∂(z,x)​,∂(u,v)∂(x,y)​)

故向量 ( ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) , ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) , ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ) (\frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}) (∂(u,v)∂(y,z)​,∂(u,v)∂(z,x)​,∂(u,v)∂(x,y)​)即为点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)处法向量. （注：这个法向量并不能区分内外侧，具体是内法向量还是外法向量仍需其他判据.） 常见平面的法向量

球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x^2+y^2+z^2=a^2 x2+y2+z2=a2的参数形式为：

{ x = a s i n ϕ c o s θ y = a s i n ϕ s i n θ z = a c o s ϕ \left\{\begin{aligned}x&=asin\phi cos\theta\\y&=asin\phi sin\theta\\z&=acos\phi\end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=asinϕcosθ=asinϕsinθ=acosϕ​

由公式得法向量为 ( a 2 s i n 2 ϕ c o s θ , a 2 s i n 2 ϕ s i n θ , a 2 s i n ϕ c o s ϕ ) (a^2sin^2\phi cos\theta,a^2sin^2\phi sin\theta,a^2sin\phi cos\phi) (a2sin2ϕcosθ,a2sin2ϕsinθ,a2sinϕcosϕ)

= a 2 s i n ϕ ( s i n ϕ c o s θ , s i n ϕ s i n θ , c o s ϕ ) =a^2sin\phi(sin\phi cos\theta,sin\phi sin\theta,cos\phi) =a2sinϕ(sinϕcosθ,sinϕsinθ,cosϕ)

柱面 x 2 + y 2 = a 2 x^2+y^2=a^2 x2+y2=a2的参数形式为：

{ x = a c o s θ y = a s i n θ z = z \left\{\begin{aligned}x&=acos\theta\\y&=asin\theta\\z&=z\end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=acosθ=asinθ=z​

由公式得法向量为 ( a c o s θ , a s i n θ , 0 ) (acos\theta,asin\theta,0) (acosθ,asinθ,0)

在第一型曲面积分上的应用

若在第一型曲面积分中积分曲面用参数方程给出，那么该如何计算呢？

取曲面 Σ \Sigma Σ面积微元 d S dS dS,设点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)在 d S dS dS内，且此时 u = u 0 , v = v 0 u=u_0,v=v_0 u=u0​,v=v0​。 d S dS dS的法向量可近似为点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)处法向量.

记为 n ⃗ = ( ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) , ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) , ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ) \vec{n}=(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}) n =(∂(u,v)∂(y,z)​,∂(u,v)∂(z,x)​,∂(u,v)∂(x,y)​)

将 d S dS dS投影到 x o y xoy xoy平面,设为 d σ d\sigma dσ。

所以 d σ d\sigma dσ的法向量为 z ⃗ = ( 0 , 0 , 1 ) \vec{z}=(0,0,1) z =(0,0,1)

所以 d S = d σ c o s < n ⃗ , z ⃗ > = ( ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) ) 2 + ( ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) ) 2 + ( ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ) 2 ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) d σ dS=\frac{d\sigma}{cos}=\frac{\sqrt{(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)})^2+(\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)})^2+(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})^2}}{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}d\sigma dS=cosdσ​=∂(u,v)∂(x,y)​(∂(u,v)∂(y,z)​)2+(∂(u,v)∂(z,x)​)2+(∂(u,v)∂(x,y)​)2 ​​dσ

所以第一型曲面积分 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S = ∬ D f ( x , y , z ) ( ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) ) 2 + ( ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) ) 2 + ( ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ) 2 ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) d x d y \iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint_{D}f(x,y,z)\frac{\sqrt{(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)})^2+(\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)})^2+(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})^2}}{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}dxdy ∬Σ​f(x,y,z)dS=∬D​f(x,y,z)∂(u,v)∂(x,y)​(∂(u,v)∂(y,z)​)2+(∂(u,v)∂(z,x)​)2+(∂(u,v)∂(x,y)​)2 ​​dxdy

再进行一次坐标代换,即被积函数乘以雅可比行列式 ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} ∂(u,v)∂(x,y)​得到

∬ D f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) ( ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) ) 2 + ( ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) ) 2 + ( ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ) 2 d u d v \iint_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)})^2+(\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)})^2+(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})^2}dudv ∬D​f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))(∂(u,v)∂(y,z)​)2+(∂(u,v)∂(z,x)​)2+(∂(u,v)∂(x,y)​)2 ​dudv

这样对于任意用参数方程给出的曲面的第一型曲面积分我们就可以化为对 u , v u,v u,v的一个二重积分了。

若有错误或意见欢迎给出资料出处，理性讨论，觉得还不错的话请点个赞，谢谢大家。 本文作于5月30日，知乎ID同名,其他平台均非作者本人.