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求矩阵的秩是要把矩阵转变成为阶梯矩阵形式。方法：通过左乘或者右乘若干个满秩矩阵完成变换。（列变换和行变换）线性方程组的解可以看成是几个平面的交点，只有一条直线或者一个交点。若有解，只有可能是一个或无限多个。
解的存在性
是否有通过变换为？ 若在的值域内，则有解，若在值域外，则无解。 看是否 方法：看，若是，则是的基的线性组合，在值域内，有解；若不是，在值域外，无解； 解的个数有解的情况下： 若值域等于定义域，则该映射是单射，只有一个解。这时rank(A) = n,即列满秩。 若值域小于定义域，则该映射不是单射，有多个解。这是rank(A) < n，即列不满秩。 解集有解的情况下： 非齐次方程组的解集等于特解加上零解集。这时该解集空间与零解集平行。 行空间与零空间共同张成定义域，且正交，且秩互补。 行列式的目的：为了解线性方程组行列式代表的事这个矩阵线性映射的伸缩比例。向量叉乘积表示的是两个向量构成的有向面积，是投影在各平面有向面积之和。三阶矩阵的有向体积：当行列式不为0时，可以用克拉默法则求解方程组。这时求的是每个x对原面积的缩放程度。点在同向量空间下不同基构成的坐标系下有不同的坐标。基代表的是旋转和伸缩。坐标与基的乘积可以得到在单位正交基下的坐标。该变换矩阵称为过度矩阵。 等价矩阵：不同的向量空间之间的转换矩阵。。相似矩阵：特征向量：矩阵变换之后方向不变，只有伸缩的那个向量对角化：找到矩阵比较好的一个相似矩阵，只有伸缩，那么这个相似矩阵就是对角矩阵。对角线上的值是特征值。充要条件：有n个线性无关的特征向量（n个基）。基为特征向量。标准基之间的过度矩阵称为正交矩阵。，是另一个比较好的基。可以用施密特正交法获得，具体是向已正交的向量构成的体上作垂线。以单位正交量为基。对称矩阵可以对角正交化。
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