【曲面积分】Poisson公式

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证明：

首先我们证明下面的公式

\iint_S f(ax+by+cz) \text d s=\iint_{\Sigma}f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2}) \text d {\sigma}

设k=\sqrt{a^2+b^2+c^2}，记A(待定)是正交矩阵，做变换

\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}

其中A的第一行是

(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})

这样就有

u=\frac{ax+by+cz}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

并且取合适的第二行以及第三行满足：

根据正交变换曲面面积元\text dS的不变性

\text dS=\text d{\Sigma}

于是有

\iint_S f(ax+by+cz) \text d S=\iint_{\Sigma}f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2}) \text d {\Sigma}

然后根据第一形曲面积分计算公式

\iint_{\Sigma} f\text d{\sigma}=\iint f|r_u×r_v| \text du\text dv

具体的，对于投影在uov平面的特殊情况r_u×r_v=\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{1+(\frac{\partial w}{\partial u})^2+(\frac{\partial w}{\partial v})^2}

\begin{aligned}\iint_{\Sigma}f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2}) \text d {\Sigma}&=2\iint_{u^2+v^2\leq 1} f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2})·\frac{1}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\text du \text dv\\&=2\int_{-1}^1f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2})\text du\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}}\frac{1}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\text dv\\&=2\pi\int_{-1}^1f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2})\text du\end{aligned}

于是有

\iint_{\Sigma}f(ax+by+cz)\text d{\sigma}=2\pi\int_{-1}^1f(u\sqrt{a^2+b^2+c^2})\text du

关于\text{Poisson}公式貌似咱乎还没有太多资料，于是就码了点字~