相场模型方程的局部间断有限元方法及快速求解

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作者：

郭瑞晗

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摘要：

本文应用局部间断有限元(LDG)方法求解一系列相场模型方程以达到空间上的高阶精度来抓住尖锐界面(sharp interface)。这些方程包括Cahn-Hilliard方程、Allen-Cahn方程、Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程组、Cahn-Hilliard-Brinkman方程组及functionalized Cahn-Hilliard方程。相场模型方程的高阶非线性性要求我们选取隐式时间离散方法以减弱显式时间离散对时间步长的限制。为提高整体计算效率,我们采用多重网格方法求解线性或者非线性方程组。本文证明了以上方程半隐式LDG格式的能量稳定性及基于凸分解准则的全离散格式的无条件能量稳定性,这允许我们自适应的选取时间步长。此外,我们还证明了Allen-Cahn方程LDG格式L2模及负模意义下的先验误差估计。本文的研究工作主要分为以下四部分。 第一部分,我们研究和分析了如何快速求解由Cahn-Hilliard方程LDG空间离散和隐式时间离散而产生的方程组。Cahn-Hilliard方程中退化的迁移率(mobility) b(u)增加了隐式时间离散及求解难度,对此,我们引入了线性化技巧得到时间上的高阶隐式格式。对特殊的Cahn-Hilliard方程(自由能Ψ(u)=1/4(1-u2)2)构造了基于凸分解准则的全离散格式,并证明了它的无条件能量稳定性。隐式时间离散及多重网格方法使得我们可以得到Cahn-Hilliard方程的稳态解。 第二部分,我们对Allen-Cahn方程构造了LDG空间离散并证明了半离散格式的能量稳定性。此外,还给出了L2模意义下的先验误差估计。Allen-Cahn方程中的非线性项为误差分析增加了一定的困难,通过对非线性项的特殊处理,我们得到了L2模意义下的最优收敛阶,即κ阶多项式近似具有κ+1阶精度。通过引入对偶技巧,我们还证明了负模意义下的2κ+1阶收敛阶。 第三部分,我们分别对四阶非线性Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程组、Cahn-Hilliard-Brinkman方程组及六阶非线性functionalized Cahn-Hilliard方程构造了LDG方法并证明了半离散格式的能量稳定性。这三个方程的高阶非线性性为数值近似增加了一定的困难。而Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程组和Cahn-Hilliard-Brinkman方程组又需要我们耦合求解▽.u=0这个额外方程。同时,高阶非线性性使得显式时间离散变得没有意义,我们基于Cahn-Hilliard方程能量凸分解准则对Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程组和Cahn-Hilliard-Brinkman方程组分别构造了半隐式时间离散方法,并证明了无条件能量稳定性。这允许我们自适应的选取时间步长。这三个方程形式上的复杂性使得时-空离散后所得线性或非线性方程组的求解也成为一个大的挑战。 以上我们所考虑的方程均为具有偶数阶空间导数的偏微分方程。第四部分,我们研究如何快速求解由三阶、五阶KdV方程LDG空间离散及隐式additive Runge-Kutta (ARK)时间离散产生的线性方程组。线性方程组的强非对称性增加了求解的难度。针对这个问题,我们把奇数阶方程拆分为方程组的形式以减弱线性代数方程组的非对称性,并用多重网格方法求解。而为了分析它的收敛性,我们采用局部Fourier分析方法。 对于以上方程LDG空间离散及隐式时间离散所得线性或非线性方程组,我们均采用多重网格方法进行求解,并数值上表明多重网格方法具有最优或几乎最优的计算复杂度。这与传统的迭代方法相比大大提高了计算效率。我们给出一维、二维和三维空间中的数值算例来表明LDG方法,隐式时间离散方法及多重网格方法在求解此类相场模型方程时的有效性,并数值上验证了对七阶多项式近似,L2模和L∞模均可达到κ+1阶最优精度。

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关键词：

局部间断有限元方法 Cahn-Hilliard方程 凸分解 能量稳定 多重网格方法 Allen-Cahn方程 先验误差估计 负模误差估计 Functionalized Cahn-Hilliard方程

学位级别：

博士

学位年度：

2014