若干四阶非线性偏微分方程的数值解法

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作者：

刘凤楠

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摘要：

高阶非线性抛物方程作为数学模型可描述物理,化学,地理,环境科学等很多领域出现的现象,应用广泛,是非线性学科的一个重要组成部分.本文研究了三类具有应用背景的四阶非线性偏微分方程的数值解法.理论上主要研究数值方法的先验估计和收敛性,特别是数值解的H~2模先验估计,这是四阶方程收敛性分析的基础.此外,文中也给出了数值实验以验证理论上的结果.首先,本文研究了描述晶体表面增长的方程的差分法.关于该方程数值解法的研究不多,笔者曾经和其他作者合作研究过该问题的有限元法,但由于三次有限元形成刚度矩阵的计算量过大,因而又进一步来研究方程的差分法.本文针对一维模型和二维模型各给出了一种差分格式,分别证明了差分解的存在唯一性,先验估计和收敛性,并给出了数值算例.该方程的非线性项是有理式形式,直接处理比较复杂,但通过一次分部积分可以大幅降低非线性项的复杂度.在有限元法的研究中是用连续内积进行分析,从而可以直接用分部积分处理非线性项.但在构造差分格式时,如果只是简单移植,那么非线性项在离散内积下不满足分部积分.在不影响计算复杂度的前提下,为了能采取与有限元法相似的处理方法,本文针对该方程的一维模型构造了一种半隐半显型线性化差分格式,使得非线性项在相应的离散内积下可以进行一次分部积分,从而降低非线性项的处理难度.在理论上证明了该数值格式在时间方向上为一阶收敛,在空间方向上为二阶收敛,数值算例验证了这一结果.针对二维模型本文构造了 Crank-Nicolson型的差分格式,并定义了与之匹配的离散内积,使得非线性项也可以进行类似的处理.所构造的Crank-Nicolson型的差分格式虽然比线性化差分格式的计算量大,但在时间上达到二阶收敛,综合效果较好.数值结果也与该理论结果相吻合.其次,本文研究了二维扩展的Fisher-Kolmogorov(EFK)方程u_t + γ△~2u-△u + f(u)= 0的拟谱方法.关于该方程的数值解法有较多的研究成果,方法涉及各类有限元法和差分法.本文先对空间进行离散,构造了恰当的求解空间和离散内积,使得求解空间SN以及离散内积的定义不仅与方程的初边值条件相匹配,同时也满足SN空间中基函数的正交性.在此基础上,构造了半离散拟谱近似格式,并证明了半离散解的存在性,先验估计及收敛性.进而又建立了Crank-Nicolson型的全离散拟谱格式,证明了全离散解的先验估计,并给出了按L2范数的最优阶误差估计.针对EFK方程的非线性项f(u)= u~3-u,在H~2半模先验估计的分析中引入能量泛函E_h(t)=γ/2||△u_h||~2+1/2||▽u_h||~2+(H(u_h),1)_h,u_h∈sN,其中H(u_h)=1/4(1-u_h~2)~2,并且H'(u_h)=f(u_h).利用能量泛函随时间递减的性质证得H~2半模的先验估计.全离散解的先验估计证明中也构造和借助了相应的离散能量泛函.给出了 Fourier拟谱方法的收敛性结果,并用数值算例验证了相应的理论结果.最后,本文研究了一类对流Cahn-Hilliard方程u_t+γ△~2u-△f(u)▽g(u)=0的Fourier谱近似解的长时间行为,其f(u)为关于u的四次多项式,g(u)为关于u的五次多项式.文中给出了谱近似解的H~2模长时间先验估计的证明,并对有限时间段分析了数值解的收敛性.数值解的先验估计是理论分析的基础,但由于该方程非线性项的特殊性,得到其数值解的H0模先验估计是难点.为此本文针对非线性项▽g(u)给出了一种反对称格式,并利用该格式构造了半离散谱近似格式,进而建立了全离散格式.由于全离散格式中g(u)利用了反对称格式,所以有效地排除了该非线性项的影响,得到了 H0模的长时间先验估计.数值解H~2半模的先验估计中通常会借助于能量泛函,但该方程和H~2半模对应的能量泛函难以找到.由于有了H0模的先验估计,所以本文在H~2半模长时间先验估计中,对非线性项的影响,采用充分地利用四阶导数项和H0模的估计,并多次使用Nirenberge不等式的分析方法,得到了较好的理论结果.

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关键词：

四阶非线性抛物方程 差分法 拟谱方法 Fourier谱方法 长时间行为

学位级别：

博士

学位年度：

2017

被引量：

1