【微积分基础（26）】曲率的定义与计算，以及曲率半径

讲完洛必达法则之后，函数单调性、曲线凹凸性的判别、函数的最大值和最小值我都跳过了，因为这几节内容繁琐但简单（大部分情况下也不会影响之后的学习），所以就直接讲曲线的曲率吧。

对于曲线的定义，我们可以这样说：曲线的弯曲程度叫做曲线的斜率。

这还没有涉及到定义式，所以似乎有一点模糊。那么我们先来直观地感受一下什么是弯曲程度，以及它与那些因素有关。我们来举一个举一个简单的例子吧！

我们把曲线（光滑的——之后我会给出光滑的条件）看做是一条赛车道（弯的♂），然后你坐在一辆全自动的赛车里面，经过一天的工作（或者学习），你十分劳累，身子除了下肢固定，其他都可以自由摇动（super面筋人~），那么这时，我们可以用你在车上身子摇动的剧烈程度（或者说晃动的角度）来反映赛道的曲率。由于赛车转弯时角度连续，所以可以假定赛车道光滑。

有如下三种情况：

（1）100米赛道，赛车转弯100度。

（2）10000米赛道，赛车转弯100度。

（3）100米赛道，赛车转弯10000度。

其中的变量对应的就是曲线的长度大小，以及过曲线的切线的转角大小。

（1）与（2）相比，（1）更剧烈，说明切线转角一定时，曲线越长，曲率越小。

（1）与（3）相比，（3）更剧烈，说明曲线长度一定时，转角越大，曲率越大。

借助来自网上的图片，即下图：

相应的，我们给出曲率的定义式以及严格定义：

等一下等一下（233），在这之前要先给出曲线光滑的判定（或者说定义）：

设平面曲线C的参数方程为：

x = m ( t )

y =  n ( t )

如果 m ' ( t ) 与 n ' ( t ) 都是连续函数，且 m ' ( t ) 与 n ' ( t ) 不会同时为零

（即：[ m ' ( t )] ^ 2 + [ n ' ( t ) ] ^ 2 ≠ 0），那么称曲线C是光滑的，那么它的切线就会是连续转动的。

好了，来定义曲率吧！

设平面曲线C是光滑的，在曲线C上取定一点M0（作为度量弧长的基点），M、M ' 是C上的两点，那么弧 M ' M0 的弧长减去弧 M M0 的弧长则为 Δ s，从 M 到 M ' 切线的转角为 Δ α ，那么我们称 |Δ α / Δ s | 为弧 M M ' 的平均曲率（K上面加一横）。

当点 M ' 沿曲线C趋于 M 时，平均曲率的极限存在，那么这个极限称为曲线C在点M出的曲率，记作 K ，即：

lim Δs→0  K = | Δ α / Δ s |

即：

K = | d α / d s |

这就是定义式。

下一步就是计算啦！

由定义式我们可以有如下思路来求K。看见微分相除，首先想到的就是导数，那么第一个思路就是直接硬推 α 与 s 的函数关系，然后求导。但是这个思路非常非常麻烦。

所以我们就需要一个中间桥梁（参数）。

就有了第二个思路，以 x 为桥梁，把直接求导转化为参数方程求导，即：

K = | d α / d s | = | ( d α / d x ) / ( d s / d x ) |

这就十分简单了，转角就是切线的斜率的连续变化量的反正切函数值（这句话很关键，有一点绕，但是一定要理解，其实就是 arctan y '），斜率又是函数的一阶导数，那么既然函数是连续光滑的，那么当 Δ s 趋于0时，Δ x 也会趋于零，那么切线转角的变化率就是

 ( arctan y ' ) '，

注意到是一个复合函数求导，那么由链式法则，又因为 (arctan x)'=1/(1+x²)——这个可以通过tan x 的导数得到，反函数的求导我之前是讲过的，这里就不多说了。那么：

dα/dx=( arctan y ' ) ' = y''/(1+y'^2)

分子OK了，下面是分母ds/dx，那么我们就来找一下s与x的函数关系。当Δx趋于0时，我们可以得到如图的直角三角形：

注意到Δx趋于0，那么 Δ y / Δ x = f ' ( x ) ，那：

ds = ( dx^2 + dy^2 )^( 1/2 )=dx [ f ' (x)^2 + 1]^( 1/2 )

所以：

ds/dx=[f'(x)^2+1]^(1/2)，

那么K = | d α / d s | = | ( d α / d x ) / ( d s / d x ) | 

= | [ y '' / ( 1 + y '^2 ) ] / [ f ' ( x ) ^ 2 + 1 ] ^ ( 1 / 2 ) |

= | y '' | / [ f ' ( x ) ^ 2 + 1 ] ^ ( 3 / 2 )

即：

如果用更方便的参数方程来表达曲线的话，进一步代入二阶导数与一节导数化简得：

其中

【感谢度娘提供了更加清晰的表达式~，而且还很好记】

下一个就是必要的补充知识——曲率半径。

我们如果把圆的参数方程代入曲率的表达式会得到 K = 1 / R ，其中R是这个圆的半径。而曲率半径就是指过曲线上一点做作法线（垂直于切线且过该切点的直线），在曲线的凹向的那一侧在直线上确定一点D，以K的倒数为半径作圆，这个圆称为该曲线在此点处的曲率圆，而该曲率圆的半径就是曲率半径。

曲率半径 ρ = 1 / K

根据上面的叙述，我们可以知道：

曲线在此点处与在这个点的曲率圆有相同的切线与曲率，并且在此点处有相同的凹向。

这是一种常用的转化，比如说在计算向心力大小、计算铁路缓和曲线、计算压力等等都十分重要。

这一期概念性较强，所以例题就没有什么，如果是物理计算的话又太花时间了（相比之下），没必要让大家那么累。