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高中数学/函数与三角/函数的奇偶性
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阅读指南[编辑]
希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。 函数的奇偶性是高中考试的基础考点。这是无论翘了多少节课，在考试前都应该知道的东西。不过，不是所有的普通高中通用教材都会明确给出函数奇偶性的概念。例如在2003年中国大陆人民教育出版社出版的《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》第1册（上）[1]的函数章节中就没有明确提及奇偶性的概念。 预备知识[编辑]阅读本节内容，读者应该了解函数和复合函数的概念。 考试要求[编辑]应付中学考试，应该主要掌握利用定义证明函数的奇偶性、利用图象特点判断奇偶性。在此基础上，还应该掌握含参数的函数的奇偶性讨论、涉及广义奇偶性的对称问题。 后续课程联系[编辑]实际上在高中所学的函数知识中看不出它的实际用途。学习函数的奇偶性主要是为本科阶段的课程作准备。有关奇偶性（或广义奇偶性）的讨论价值会充分体现在对奇偶函数积分时的结果差异、三角级数的正交性、多重线性代数理论、量子力学中处理全同粒子/量子纠缠态/空间“宇称/极性”（parity，其实就是全局的对称性）等课题中。 基础知识[编辑] 奇偶性的定义[编辑]奇函数（odd function）是指同时满足以下2个特性的一元函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [2]： 其定义域dom是关于原点对称的区间。 ∀ x ∈ d o m , f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle \forall x\in dom,f(-x)=-f(x)}
从几何上看，奇函数的图象是中心对称图形，且对称中心位于坐标系的原点[2][3]。换句话说，奇函数的图象在绕原点做180度旋转后不会改变。这种关于原点的中心对称是特殊的旋转对称。 偶函数（even function）是指同时满足以下2个特性的一元函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [2]： 其定义域dom是关于原点对称的区间。 ∀ x ∈ d o m , f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in dom,f(-x)=f(x)}
从几何上看，偶函数的图象是轴对称图形，且对称轴刚好是坐标系的y轴[2][3]。换句话说，偶函数的图象在对y轴作镜像反射后不会改变。这种关于坐标轴的两侧对称是特殊的轴对称。
既不是奇函数，也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。例如 y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} 就是一个非奇也非偶的函数，虽然它的定义域是关于原点对称的，但是它的图象既不关于原点呈中心对称，也不关于y轴呈两侧对称。又例如 y = x ( x ≤ 10 ) {\displaystyle y=x\quad (x\leq 10)} 也是一个非奇也非偶的函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。又例如 y = 0 ( x ∈ R ) {\displaystyle y=0\quad (x\in \mathbb {R} )} 是一个奇函数也是一个偶函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。 要判断一个函数是奇函数、偶函数还是其它函数应该按照如下的步骤： 验证函数的定义域关于原点是对称的。一般以文字简要说明即可。 在定义域内任取一点 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，计算 f ( − x 0 ) {\displaystyle f(-x_{0})} 的值。如果发现计算结果等于 f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} ，那么可以判断是奇函数；如果等于 − f ( x 0 ) {\displaystyle -f(x_{0})} ；如果肯定不等于这二者，则为非奇数非偶函数。反过来，如果已知一个函数的奇偶性，就等价于知道了以下条件： 函数的定义域关于原点是对称的。 在定义域内任取一点 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，对于奇函数肯定有关系 f ( − x 0 ) = − f ( x 0 ) {\displaystyle f(-x_{0})=-f(x_{0})} 成立，对于偶函数肯定有关系 f ( − x 0 ) = f ( x 0 ) {\displaystyle f(-x_{0})=f(x_{0})} 成立。
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[2]：
注意：奇函数与偶函数从定义上看只差一个字和一个正负号，但是其图象的特点差异其实非常大。
就是一个非奇也非偶的函数，虽然它的定义域是关于原点对称的，但是它的图象既不关于原点呈中心对称，也不关于y轴呈两侧对称。又例如
y
=
x
(
x
≤
10
)
{\displaystyle y=x\quad (x\leq 10)}
也是一个非奇也非偶的函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。又例如
y
=
0
(
x
∈
R
)
{\displaystyle y=0\quad (x\in \mathbb {R} )}
是一个奇函数也是一个偶函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。
，计算
f
(
−
x
0
)
{\displaystyle f(-x_{0})}
的值。如果发现计算结果等于
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
，那么可以判断是奇函数；如果等于
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle -f(x_{0})}
；如果肯定不等于这二者，则为非奇数非偶函数。
成立，对于偶函数肯定有关系
f
(
−
x
0
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(-x_{0})=f(x_{0})}
成立。
注意：遇到判断函数奇偶性的问题，先要判断定义域的对称性。如果检查完定义域满足对称性的要求，才可以考虑带入表达式进行计算化简。解题时，验证函数定义域的对称性是用简短的一句话就可以解决的事情，但是特别容易被一些初学者遗漏，从而导致逻辑流程不完整而考试扣分。
相关例题1：
若
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
上的奇函数，则下列说法正确的有( )。
；B.
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
=
2
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)-f(-x)=2f(x)}
C.
f
(
x
)
f
(
−
x
)
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