初等变换和广义初等变换

【例】第\(1\)行和第\(2\)行互换，或第\(1\)列和第\(2\)列互换：\(E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)

【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？

（1）行互换：设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则第\(1\)行和第\(2\)行互换后得到\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A\)。

（2）列互换：设矩阵\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为列向量，则第\(1\)列和第\(2\)列互换后得到\(B =(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。

【例】第\(1\)行的\(3\)倍加到第\(2\)行，或第\(2\)列的\(3\)倍加到第\(1\)列：\(E_{12}(3)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)

【推导】不凭记忆，如何求出倍加变换矩阵？

（1）行倍加：设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则第\(1\)行的\(3\)倍加到第\(2\)行后得到\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2+3\alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A\)。

（2）列倍加：设矩阵\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为列向量，则第\(2\)列的\(3\)倍加到第\(1\)列后得到\(B = (\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。

【例】第\(3\)行乘\(-2\)，或第\(3\)列乘\(-2\)：\(E_{3}(-2)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]\)

【推导】不凭记忆，如何求出倍乘变换矩阵？

（1）行倍乘：设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则第\(3\)行乘\(-2\)后得到\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ -2\alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] A\)。

（2）列倍乘：设矩阵\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为列向量，则第\(3\)列乘\(-2\)后得到\(B = (\alpha_1,\alpha_2,-2\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]\)。

（1）可逆：三种变换均不会改变矩阵的秩（矩阵的初等变换不会改变秩）

（2）幂次方

（3）行列式

（4）转置

广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换，该方法将每一块视为一个整体，类比初等变换那样进行变换。

与初等互换变换类似，广义换法变换的变换矩阵形式为\(\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right]\)，其行列式的值均不为\(0\)，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第\(2\)行与第\(1\)行互换：

（2）第\(2\)列与第\(1\)列互换：

与初等倍加变换类似，广义消法变换的变换矩阵形式有两种：\(\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right]\)和\(\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right]\)，其行列式的值均不为\(0\)，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第\(2\)行左乘矩阵\(M\)后加到第\(1\)行：

（2）第\(1\)行左乘矩阵\(M\)后加到第\(2\)行：

（3）第\(2\)列右乘矩阵\(M\)后加到第\(1\)列：

（4）第\(1\)列右乘矩阵\(M\)后加到第\(2\)列：

与初等倍乘变换类似，广义倍法变换的变换矩阵形式有两种：\(\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right]\)和\(\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right]\)，其行列式的值为\(|M|\)，此时分为两种情况：当\(|M| \neq 0\)时，变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩；当\(|M|=0\)时，变换矩阵不可逆，此变换会改变矩阵的秩，这时就不能使用广义倍法变换了。所以，尽量少使用此变换，因为该变换可能会改变矩阵的秩。

（1）第\(1\)行左乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：

（2）第\(2\)行左乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：

（3）第\(1\)列右乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：

（4）第\(2\)列右乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：

【例 1】将矩阵\(A\)的第\(2\)行的\(-3\)倍加到第\(1\)行得到矩阵\(B\)，然后将矩阵\(B\)的第\(1\)列的\(2\)倍加到第\(3\)列得到数量矩阵\(5E\)，求矩阵\(A\)。

【解】设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则矩阵\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1-3\alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，所以变换矩阵\(P = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。根据初等变换矩阵的性质可得\(P^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。

设矩阵\(B = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)\)，其中\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)为列向量，则矩阵\(C = (\beta_1,\beta_2,\beta_3+2\beta_1) = (\beta_1,\beta_2,\beta_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)，所以变换矩阵\(Q = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。根据初等变换矩阵的性质可得\(Q^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。

由题意得\(PAQ = 5E\)，则矩阵\(A = 5P^{-1}Q^{-1} =5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = 5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。

若是通过初等变换求矩阵的秩，由于初等行变换和初等列变换均不改变原矩阵的秩，所以初等行、列变换可以混合使用。

【例 2】设\(A=\left[ \begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{matrix} \right]\)，已知\(r(A^*)+r(A)=3\)，求\(a,b\)应该满足的关系。

【解】由\(r(A^*)+r(A)=3\)易知：\(r(A)=2,r(A^*)=1\)，接下来对\(A\)进行初等变换：

因为\(r(A)