线性代数学习笔记（十二）

本篇笔记首先回顾了矩阵的运算，并通过数的除法讨论逆矩阵的引入部分，需要注意： 永 远 不 要 把 矩 阵 放 到 分 母 上 ！ \color{red}{永远不要把矩阵放到分母上！} 永远不要把矩阵放到分母上！所以矩阵不存在除法的说法；然后通过矩阵的属性讨论了方阵的行列式，以及方阵行列式的三条性质；最后重点介绍了方阵的伴随矩阵，包括伴随矩阵的求法，以及伴随矩阵相关的定理和推论。

前面在介绍矩阵的运算时，已经学习过了矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的数乘以及矩阵的乘法，那矩阵是否有除法运算呢？“矩阵的除法”就是下一篇博客要介绍的逆矩阵，其实矩阵只有逆矩阵，并没有除法的说法。

比如对于数来说： 2 × 1 2 = 1 2 × 2 = 1 2×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2=1 2×21​=21​×2=1， 那么能否找到矩阵 A A A和矩阵 B B B，使得： A × B = B × A = E A×B=B×A=E A×B=B×A=E。

是否是 B = 1 A B=\frac{1}{A} B=A1​呢？因为： A × 1 A = 1 A × A = E \bcancel{A}×\frac{1}{\bcancel{A}}=\frac{1}{\bcancel{A}}×\bcancel{A}=E A ​×A ​1​=A ​1​×A ​=E。

以上做法是错误的！ 永 远 不 要 把 矩 阵 放 到 分 母 上 \color{red}{永远不要把矩阵放到分母上} 永远不要把矩阵放到分母上。

将给定方阵的元素作为行列式的元素就叫方阵的行列式。

例如：方阵 A = [ 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix}2&2&2\\3&3&3\\1&1&1\end{bmatrix} A=⎣⎡​231​231​231​⎦⎤​，则其行列式记作： ∣ A ∣ |A| ∣A∣，故 ∣ A ∣ = ∣ 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ∣ |A|=\begin{vmatrix}2&2&2\\3&3&3\\1&1&1\end{vmatrix} ∣A∣=∣∣∣∣∣∣​231​231​231​∣∣∣∣∣∣​。

不难发现，上述 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0，我们知道，行列式表示一个数，而矩阵表示一个数表，那么求矩阵的行列式是什么意思呢？其实矩阵具有很多的属性，方阵的行列式是方阵其中的一个属性，其他属性例如：

矩阵 { 特 征 值 特 征 向 量 行 列 式 . . . \begin{cases} 特征值\\ 特征向量\\ 行列式\\ ...\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​特征值特征向量行列式...​

① ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ \color{red}{|A^T|=|A|} ∣AT∣=∣A∣ 原因：行列式性质第一条，行列式转置值不变。

★ ② ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \color{red}{|kA|=k^n|A|} ∣kA∣=kn∣A∣ 原因：矩阵所有元素有公因子向外提 1 1 1次，行列式所有元素的公因子向外提 n n n次。

例如： A = [ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{bmatrix} A=⎣⎡​123​123​123​⎦⎤​

k A = [ k k k 2 k 2 k 2 k 3 k 3 k 3 k ] kA=\begin{bmatrix}k&k&k\\2k&2k&2k\\3k&3k&3k\end{bmatrix} kA=⎣⎡​k2k3k​k2k3k​k2k3k​⎦⎤​

∣ k A ∣ = ∣ k k k 2 k 2 k 2 k 3 k 3 k 3 k ∣ |kA|=\begin{vmatrix}k&k&k\\2k&2k&2k\\3k&3k&3k\end{vmatrix} ∣kA∣=∣∣∣∣∣∣​k2k3k​k2k3k​k2k3k​∣∣∣∣∣∣​

∣ k A ∣ = k 3 ∣ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ∣ = k 3 ∣ A ∣ |kA|=k^3\begin{vmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{vmatrix}=k^3|A| ∣kA∣=k3∣∣∣∣∣∣​123​123​123​∣∣∣∣∣∣​=k3∣A∣

③ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \color{red}{|AB|=|A||B|} ∣AB∣=∣A∣∣B∣ 行列式的乘法定理，前提条件： A A A、 B B B为同阶，可以推广到多个方阵相乘的情况，如 ∣ A B C ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ C ∣ |ABC|=|A||B||C| ∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣。

例1：已知 A A A为 5 5 5阶方阵，并且 ∣ A ∣ = 3 |A|=3 ∣A∣=3，求 ∣ − A ∣ |-A| ∣−A∣、 ∣ 2 A T ∣ |2A^T| ∣2AT∣、 ∣ ∣ ∣ A ∣ A ∣ |||A|A| ∣∣∣A∣A∣和 ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ A ∣ A ∣ A ∣ ||||A|A|A|A| ∣∣∣∣A∣A∣A∣A∣。

(1) ∣ − A ∣ = ( − 1 ) 5 ∣ A ∣ = − 1 × 3 = − 3 |-A|=(-1)^5|A|=-1×3=-3 ∣−A∣=(−1)5∣A∣=−1×3=−3；

(2) ∣ 2 A T ∣ = 2 5 ∣ A T ∣ = 2 5 ∣ A ∣ = 2 5 × 3 = 96 |2A^T|=2^5|A^T|=2^5|A|=2^5×3=96 ∣2AT∣=25∣AT∣=25∣A∣=25×3=96；

(3) ∣ ∣ A ∣ A ∣ = ∣ 3 A ∣ = 3 5 ∣ 3 ∣ = 3 5 × 3 = 3 6 ||A|A|=|3A|=3^5|3|=3^5×3=3^6 ∣∣A∣A∣=∣3A∣=35∣3∣=35×3=36；

(4) ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ A ∣ A ∣ A ∣ ||||A|A|A|A| ∣∣∣∣A∣A∣A∣A∣ = ∣ ∣ ∣ 3 A ∣ A ∣ A ∣ =|||3A|A|A| =∣∣∣3A∣A∣A∣ = ∣ ∣ 3 5 ∣ A ∣ A ∣ A ∣ =||3^5|A|A|A| =∣∣35∣A∣A∣A∣ = ∣ ∣ 3 5 × 3 A ∣ A ∣ =||3^5×3A|A| =∣∣35×3A∣A∣ = ∣ ∣ 3 6 A ∣ A ∣ =||3^6A|A| =∣∣36A∣A∣ = ∣ ( 3 6 ) 5 ∣ A ∣ A ∣ =|(3^6)^5|A|A| =∣(36)5∣A∣A∣ = ∣ 3 30 ∣ A ∣ A ∣ =|3^{30}|A|A| =∣330∣A∣A∣ = ∣ 3 30 × 3 A ∣ =|3^{30}×3A| =∣330×3A∣ = ∣ 3 31 A ∣ =|3^{31}A| =∣331A∣ = ( 3 31 ) 5 ∣ A ∣ =(3^{31})^5|A| =(331)5∣A∣ = 3 155 ∣ A ∣ =3^{155}|A| =3155∣A∣ = 3 155 × 3 =3^{155}×3 =3155×3 = 3 156 =3^{156} =3156

只有方阵才有伴随矩阵。

定义：假设 n n n阶方阵 A A A， A i j A_{ij} Aij​是其元素 a i j a_{ij} aij​的代数余子式，那么矩阵 A A A的伴随矩阵： A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​。

矩阵 A A A的伴随矩阵记作 A ∗ A^* A∗。

例2：矩阵 A = [ 1 1 1 2 1 3 1 1 4 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&1&3\\1&1&4\end{bmatrix} A=⎣⎡​121​111​134​⎦⎤​

① 第一步：分别求所有元素的代数余子式 A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 1 3 1 4 ∣ = 1 A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&3\\1&4\end{vmatrix}=1 A11​=(−1)1+1∣∣∣∣​11​34​∣∣∣∣​=1 A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 2 3 1 4 ∣ = − 5 A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}=-5 A12​=(−1)1+2∣∣∣∣​21​34​∣∣∣∣​=−5 A 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 2 1 1 1 ∣ = 1 A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1 A13​=(−1)1+3∣∣∣∣​21​11​∣∣∣∣​=1 A 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ∣ 1 1 1 4 ∣ = − 3 A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=-3 A21​=(−1)2+1∣∣∣∣​11​14​∣∣∣∣​=−3 A 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ∣ 1 1 1 4 ∣ = 3 A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=3 A22​=(−1)2+2∣∣∣∣​11​14​∣∣∣∣​=3 A 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∣ 1 1 1 1 ∣ = 0 A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0 A23​=(−1)2+3∣∣∣∣​11​11​∣∣∣∣​=0 A 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ∣ 1 1 1 3 ∣ = 2 A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2 A31​=(−1)3+1∣∣∣∣​11​13​∣∣∣∣​=2 A 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∣ 1 1 2 3 ∣ = − 1 A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=-1 A32​=(−1)3+2∣∣∣∣​12​13​∣∣∣∣​=−1 A 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 1 1 2 1 ∣ = − 1 A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1 A33​=(−1)3+3∣∣∣∣​12​11​∣∣∣∣​=−1

② 第二步：按行求的代数余子式按列放构成矩阵 A ∗ = [ 1 − 3 2 − 5 3 − 1 1 0 − 1 ] A^*=\begin{bmatrix}1&-3&2\\-5&3&-1\\1&0&-1\end{bmatrix} A∗=⎣⎡​1−51​−330​2−1−1​⎦⎤​

求伴随矩阵的口诀： 按 行 求 ， 按 列 放 \color{red}{按行求，按列放} 按行求，按列放。

定理2.4.1：对于任意方阵 A A A，有： A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E \color{red}{AA^*=A^*A=|A|E} AA∗=A∗A=∣A∣E。

证明： ① A A ∗ = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] AA^*=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix} AA∗=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

根据矩阵的乘法得： = [ a 11 A 11 + a 12 A 12 + . . . + a 1 n A 1 n a 11 A 21 + a 12 A 22 + . . . + a 1 n A 2 n ⋯ a 11 A n 1 + a 12 A n 2 + . . . + a 1 n A n n a 21 A 11 + a 22 A 12 + . . . + a 2 n A 1 n a 21 A 21 + a 22 A 22 + . . . + a 2 n A 2 n ⋯ a 21 A n 1 + a 22 A n 2 + . . . + a 2 n A n n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 A 11 + a n 2 A 12 + . . . + a n n A 1 n a n 1 A 21 + a n 2 A 22 + . . . + a n n A 2 n ⋯ a n 1 A n 1 + a n 2 A n 2 + . . . + a n n A n n ] =\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}&{\cdots}&a_{11}A_{n1}+a_{12}A_{n2}+...+a_{1n}A_{nn}\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+...+a_{2n}A_{1n}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+...+a_{2n}A_{2n}&{\cdots}&a_{21}A_{n1}+a_{22}A_{n2}+...+a_{2n}A_{nn}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}A_{11}+a_{n2}A_{12}+...+a_{nn}A_{1n}&a_{n1}A_{21}+a_{n2}A_{22}+...+a_{nn}A_{2n}&{\cdots}&a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+...+a_{nn}A_{nn}\\ \end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎢⎡​a11​A11​+a12​A12​+...+a1n​A1n​a21​A11​+a22​A12​+...+a2n​A1n​⋮an1​A11​+an2​A12​+...+ann​A1n​​a11​A21​+a12​A22​+...+a1n​A2n​a21​A21​+a22​A22​+...+a2n​A2n​⋮an1​A21​+an2​A22​+...+ann​A2n​​⋯⋯⋱⋯​a11​An1​+a12​An2​+...+a1n​Ann​a21​An1​+a22​An2​+...+a2n​Ann​⋮an1​An1​+an2​An2​+...+ann​Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

根据行列式的按行展开定理：某行元素与其对应代数余子式相乘等于行列式的值，即： a 11 A 11 + a 12 A 12 + . . . + a 1 n A 1 n = ∣ A ∣ a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}=|A| a11​A11​+a12​A12​+...+a1n​A1n​=∣A∣。

根据异乘变零定理：某行元素与其他行元素对应代数余子式相乘等于零，即： a 11 A 21 + a 12 A 22 + . . . + a 1 n A 2 n = 0 a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}=0 a11​A21​+a12​A22​+...+a1n​A2n​=0。

同理其他元素也是相同的处理，所以上述表达式： = [ ∣ A ∣ 0 ⋯ 0 0 ∣ A ∣ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ∣ A ∣ ] =\begin{bmatrix} |A|&0&{\cdots}&0\\ 0&|A|&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&|A|\\ \end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎢⎡​∣A∣0⋮0​0∣A∣⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮∣A∣​⎦⎥⎥⎥⎤​

= ∣ A ∣ E =|A|E =∣A∣E

② A ∗ A = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A^*A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\ \end{bmatrix} A∗A=⎣⎢⎢⎢⎡​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

根据矩阵的乘法得： = [ a 11 A 11 + a 21 A 21 + . . . + a n 1 A n 1 a 12 A 11 + a 22 A 21 + . . . + a n 2 A n 1 ⋯ a 1 n A 11 + a 2 n A 21 + . . . + a n n A n 1 a 11 A 12 + a 21 A 22 + . . . + a n 1 A n 2 a 12 A 12 + a 22 A 22 + . . . + a n 2 A n 2 ⋯ a 1 n A 12 + a 2 n A 22 + . . . + a n n A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 11 A 1 n + a 21 A 2 n + . . . + a n 1 A n n a 12 A 1 n + a 22 A 2 n + . . . + a n 2 A n n ⋯ a 1 n A 1 n + a 2 n A 2 n + . . . + a n n A n n ] =\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+...+a_{n1}A_{n1}&a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+...+a_{n2}A_{n1}&{\cdots}&a_{1n}A_{11}+a_{2n}A_{21}+...+a_{nn}A_{n1}\\ a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+...+a_{n1}A_{n2}&a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+...+a_{n2}A_{n2}&{\cdots}&a_{1n}A_{12}+a_{2n}A_{22}+...+a_{nn}A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{11}A_{1n}+a_{21}A_{2n}+...+a_{n1}A_{nn}&a_{12}A_{1n}+a_{22}A_{2n}+...+a_{n2}A_{nn}&{\cdots}&a_{1n}A_{1n}+a_{2n}A_{2n}+...+a_{nn}A_{nn}\\ \end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎢⎡​a11​A11​+a21​A21​+...+an1​An1​a11​A12​+a21​A22​+...+an1​An2​⋮a11​A1n​+a21​A2n​+...+an1​Ann​​a12​A11​+a22​A21​+...+an2​An1​a12​A12​+a22​A22​+...+an2​An2​⋮a12​A1n​+a22​A2n​+...+an2​Ann​​⋯⋯⋱⋯​a1n​A11​+a2n​A21​+...+ann​An1​a1n​A12​+a2n​A22​+...+ann​An2​⋮a1n​A1n​+a2n​A2n​+...+ann​Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

根据行列式的按列展开定理：某列元素与其对应代数余子式相乘等于行列式的值，即： a 11 A 11 + a 21 A 21 + . . . + a n 1 A n 1 = ∣ A ∣ a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+...+a_{n1}A_{n1}=|A| a11​A11​+a21​A21​+...+an1​An1​=∣A∣。

根据异乘变零定理：某列元素与其他列元素对应代数余子式相乘等于零，即： a 12 A 11 + a 22 A 21 + . . . + a n 2 A n 1 = 0 a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+...+a_{n2}A_{n1}=0 a12​A11​+a22​A21​+...+an2​An1​=0。

同理其他元素也是相同的处理，所以上述表达式： = [ ∣ A ∣ 0 ⋯ 0 0 ∣ A ∣ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ∣ A ∣ ] =\begin{bmatrix} |A|&0&{\cdots}&0\\ 0&|A|&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&|A|\\ \end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎢⎡​∣A∣0⋮0​0∣A∣⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮∣A∣​⎦⎥⎥⎥⎤​

= ∣ A ∣ E =|A|E =∣A∣E

综上所述： A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E。

推论2.4.1：若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，则： ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \color{red}{|A^*|=|A|^{n-1}} ∣A∗∣=∣A∣n−1。

证明：因为 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E，两边取行列式得： ∣ A A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ |AA^*|=||A|E| ∣AA∗∣=∣∣A∣E∣

即： ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n ∣ E ∣ |A||A^*|=|A|^n|E| ∣A∣∣A∗∣=∣A∣n∣E∣ 又因为： ∣ E ∣ = 1 |E|=1 ∣E∣=1 所以： ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n |A||A^*|=|A|^n ∣A∣∣A∗∣=∣A∣n 因为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，所以两边同时除以 ∣ A ∣ |A| ∣A∣得： ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1 故原式获证。

事实上，可以证明，当 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0时，以上结论也是成立的。

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.4 逆矩阵（一）