线性代数

##逆矩阵的性质和求法

性质1: A 可 逆 ⇒ ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ A可逆\Rightarrow|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} A可逆⇒∣A−1∣=∣A∣1​

性质2: A 可 逆 ⇒ A − 1 可 逆 , ( A − 1 ) − 1 = A A可逆\Rightarrow A^{-1}可逆, (A^{-1})^{-1}=A A可逆⇒A−1可逆,(A−1)−1=A

性质3: A B = E ( o r B A = E ) ⇒ B = A − 1 AB=E(or BA=E) \Rightarrow B=A^{-1} AB=E(orBA=E)⇒B=A−1

性质4: ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T

性质5: ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 类 似 ( A B ) T = B T A T (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}类似(AB)^T=B^TA^T (AB)−1=B−1A−1类似(AB)T=BTAT

性质6: ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 ( k ≠ 0 , A 可 逆 ) (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}(k\neq0, A可逆) (kA)−1=k1​A−1(k​=0,A可逆)

方法一: 用 A ⋆ 求 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ⋆ A^{\star}求A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{\star} A⋆求A−1=∣A∣1​A⋆

方法二: 初等变换法.

A 可 逆 ⇒ A − 1 可 逆 , 那 么 A − 1 就 是 非 奇 异 的 , 也 就 是 说 A 逆 最 终 可 以 转 化 为 单 位 矩 阵 , 那 么 反 过 来 单 位 矩 阵 经 过 相 反 的 初 等 变 换 就 可 以 得 到 A − 1 A可逆\Rightarrow A^{-1}可逆, 那么A^{-1}就是非奇异的, 也就是说A逆最终可以转化为单位矩阵,那么反过来单位矩阵经过相反的初等变换就可以得到A^{-1} A可逆⇒A−1可逆,那么A−1就是非奇异的,也就是说A逆最终可以转化为单位矩阵,那么反过来单位矩阵经过相反的初等变换就可以得到A−1

( A ⋮ E ) → 行 变 换 → ( E ⋮ A − 1 ) (A\vdots E) \rightarrow 行变换 \rightarrow (E\vdots A^{-1}) (A⋮E)→行变换→(E⋮A−1)

只需要将A变成单位矩阵, 同时对E操作, 得到的矩阵就是A的逆矩阵.

练习1: 求 [ 1 − 1 − 1 − 3 2 1 2 0 1 ] 的 逆 矩 阵 \left[ \begin{matrix} 1 \quad -1 \quad -1 \\ -3 \quad 2 \quad 1 \\ 2 \quad 0 \quad 1 \end{matrix}\right]的逆矩阵 ⎣⎡​1−1−1−321201​⎦⎤​的逆矩阵

结果: [ 2 1 1 5 3 2 − 4 − 2 − 1 ] \left[ \begin{matrix} 2 \quad 1 \quad 1 \\ 5 \quad 3 \quad 2 \\ -4 \quad -2 \quad -1 \end{matrix}\right] ⎣⎡​211532−4−2−1​⎦⎤​

练习1: 求 [ 3 − 4 5 2 − 3 1 3 − 5 − 1 ] 的 逆 矩 阵 \left[ \begin{matrix} 3 \quad -4 \quad 5 \\ 2 \quad -3 \quad 1 \\ 3 \quad -5 \quad -1 \end{matrix}\right]的逆矩阵 ⎣⎡​3−452−313−5−1​⎦⎤​的逆矩阵

结果: [ − 8 29 − 11 − 5 18 − 7 1 − 3 1 ] \left[ \begin{matrix} -8 \quad 29 \quad -11 \\ -5 \quad 18 \quad -7 \\ 1 \quad -3 \quad 1 \end{matrix}\right] ⎣⎡​−829−11−518−71−31​⎦⎤​