六月数学

没有水平或铅锤边

如图，当三角形没有水平或者铅锤的边时，就需要添加辅助线通过割或补将其转化成上一种三角形。

方法一

构造铅锤线（或水平线）分割

这种方法是将三角形进行分割，需要先根据直线表达式求出D点坐标。

方法二

构造铅锤线（或水平线）补成直角梯形

S△ABC=S 梯AEFC - S△ABE - S△CBF

S△ABC=S 梯CEFB - S△ABF - S△ACE

这里主要介绍这两种方法，当然还有其它的方法，同学们也可以自行探索，在具体题目中灵活使用。

小结

当三角形有边是铅锤或水平边时，用常规的计算三角形面积的方法即可；

当三角形没有铅锤或者水平的边时，通过 构造铅垂线（或水平线）分割成两个三角形，面积相加；或者补成直角梯形（或三角形），面积相减。

已知两点和面积求第三点

如果三角形3个点中有一个点是动点，已知两点和面积时，求动点的坐标，又该如何处理呢？下面我们通过两个题目具体研究。

例题一

【题目】

已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2,4），点B的坐标为（6,2），点C的坐标为（c,0）。

（1）当△ABC的面积为10时，求点C的坐标；

（2）当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是多少？

【分析】

C在x轴上，x轴是一条水平的线，可以借助这条线构造三角形。其中A、B、C三点共线时，构不成三角形，可以依此作为分界点分类讨论。

【解答】

（1）延长AB与x轴交于D点，过A、B分别向x轴做垂线，交于H、G点。

易得AB：y=-0.5x+5, D(10,0) AH=4, BG=2

当C在D左侧时：

当C在D右侧时：

综上所述：

S△ABC=|10-c|

当|10-c|=10时，c=0或20

∴C（0,0）或（20,0）

（2）当C在D左侧时，2≤10-c≤12，-2≤c≤8

当C在D右侧时，2≤c-10≤12，12≤c≤22

∴-2≤c≤8或12≤c≤22

例题二

【题目】

已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，点A（0，4），点B（-4,0）,点P的坐标是（a,6）。

（1）若点P坐标为（1,6），连接PA，PB，则△PAB的面积是多少；

（2）是否存在点P，使△PAB的面积等于24？如果存在，请求出点P的坐标．

【分析】

（1） 三点都确定，没有铅锤或水平的边。

可以 割：借助点A所在的铅锤线y轴将其分成两个三角形，此方法需要先求出BP表达式，再求出F点坐标，稍麻烦一些；

也可以 补：连接OP，补成△BOP，比较好计算。

（2）P在y=6上，y=6是一条水平的线，可以借助这条线构造三角形。

其中A、B、P三点共线时，构不成三角形，可以依此作为分界点分类讨论。

【解答】

（1）

（2）延长BA与y=6交于Q点，

易得BA：y=x+4, Q(2,6)

当P在Q左侧时：

当P在Q右侧时：

综上所述：

当2|2-a|=24时，|2-a|=12，a=-10或14

∴P（-10,6）或（14,6）

小结

当三角形一个顶点在一条直线上运动时，我们需要 先找到三点共线（构不成三角形）的情况，然后两侧分类讨论。借助辅助线（铅垂线或水平线）割补，将其转化成好计算的图形，用未知数表示出所求三角形的面积，然后根据题目要求得到等式（或不等式），解决问题。

将一次函数与面积综合问题一起进行考查，是目前中考的热点题型，这充分体现了数形结合与分类讨论的数学思想，将面积问题转化为线段、坐标的关系问题，同时对于较复杂的问题能够依据题意画出图象，并借助图象进行分析与解答，需要同学们好好掌握。

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