08. 矩阵的四个基本子空间

设有矩阵A，设矩阵的秩为r 四个子空间如下

我们已经很熟悉列空间了 我们可以很容易地找到列空间的一个基 矩阵的所有主列就是一个基向量 所以列空间的基有r个基向量，列空间的维数等于秩r 结论1：列空间维数等于秩

对于矩阵A，其行最简形式R的前r行就是矩阵的行空间的一个基 所以行空间的维数也为r 结论2：行空间维数等于秩

零空间的一个基就是 Ax=0 的所有特殊解 而特殊解一共有n-r个，所以零空间的维数等于n-r 结论3：零空间维数等于列数减去秩

假设 AT 的秩用r’表示 对 AT 使用结论1， C(AT) 维数为r’ 对 A 使用结论2，C(AT)维数为r 得到r = r’ 于是得到 结论4：转置矩阵的秩等于原矩阵的秩

由于A的左零空间等价于 AT 的零空间，而 AT 的零空间的维数等于m-r 得到 结论5：左零空间的维数等于m-r

对于矩阵A，左零空间的每个向量都是方程 ATy=0 的解 设矩阵A是m行n列，使用 Am∗n 表示，那么 构造行最简形式的过程这么表示 Am∗n→Rm∗n 构造这样的矩阵 [Am∗nIm∗m] 将A部分构造成行最简形式的过程 [Am∗nIm∗m]→[Rm∗nEm∗m] Em∗m 矩阵记录了化简过程中的所有步骤 因为行变换其实等价于左乘一个矩阵，而这里左乘的矩阵就是 Em∗m Em∗m∗[Am∗nIm∗m]=[Rm∗nEm∗m] 即我们得到 Em∗m∗Am∗n=Rm∗n 由于A的秩为r，所以R的底部有m-r个零行 而每个零行都是A矩阵的行的线性组合得到，而这m-r个线性组合的参数对应于E的底部m-r个行向量 所以，对于E底部的m-r个行向量，每一个都是 ATy=0 的解 并且由于E是由单位矩阵行变换而来，这m-r个行向量线性无关 于是这m-r个向量便构成了左零空间的一个基