线性代数拾遗（2）

考虑一个 n n n 元齐次线性方程组如下，它总共有 m m m 个显式约束 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + . . . + a m n x n = 0 \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=0 \\...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n=0 \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=0a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=0...am1​x1​+am2​x2​+am3​x3​+...+amn​xn​=0​ 提取出系数矩阵 A m × n \pmb{A}_{m\times n} AAAm×n​，并把它用 n n n 个 m m m 维列向量 a i = [ a 1 i , a 2 i , . . . , a m i ] ⊤ \pmb{a}_i=[a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}]^\top aaai​=[a1i​,a2i​,...,ami​]⊤ 表示，原方程组变形为 A x = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 \begin{aligned} \pmb{Ax} &= [\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_n]\pmb{x} \\&= x_1\pmb{a}_1+x_2\pmb{a}_2 +...+x_n\pmb{a}_n \\&= \pmb{0} \end{aligned} AxAxAx​=[aaa1​,aaa2​,...,aaan​]xxx=x1​aaa1​+x2​aaa2​+...+xn​aaan​=000​ 这样，任意一个列向量都可以写成用其他列向量表示的形式 a i = − ∑ j ≠ i x j x i a j \pmb{a}_i = -\sum_{j\neq i} \frac{x_j}{x_i}\pmb{a}_j aaai​=−j​=i∑​xi​xj​​aaaj​ 这意味着，这组向量的线性相关性由线性方程组的解唯一确定

对于线性方程组来说，对它做初等行变换是不改变解的（这正是高斯消元法的理论基础）。因此，对矩阵做初等行变换得到新矩阵

由于行列的等价性，把上述讨论中所有 “行”，“列” 交换，仍成立