分数的拆分原理和方法

今天讲解分数计算中常用的一种思维方法：裂项抵消。看下面这道例题，计算式中各项的和。

乍一看，

计算式中含有的分数项非常多，

倘若按照分数运算中的常规算法，

分母先通分，

分子相加减，

最后约分化为最简分数。

估计考试时间结束，

也不一定能算出答案。

所以，遇到项非常多的计算式时，不要紧张，先观察，看看有没有简便方法，找到思路后再下笔。

我们一起来分析这道题目，

先看它的各项规律。

计算式中各个分式的分子都是1，

分母为两个相邻自然数的乘积，

2x3，3x4，4x5，5x6，6x7……49x50，

分母乘数和被乘数从小到大依次连续，

它们的差刚好是1，

3-2=1，4-3=1，5-4=1……50-49=1。

那么，

我们试着来分析计算式中的第一项：

也就是说，第一项可以写成

以此类推，剩余的项也可写成类似的形式：

这下，我们就可以开始计算了。

看到规律了吗？

式子中-1/3，+1/3，-1/4，+1/4……这些是不是都可以抵消为0？

最后，

我们就存头留尾，算出结果了。

（千万要注意最后一个分数前的符号别丢了）

看起来非常复杂的题目就这样被瓦解了。

在很多个分数的计算中，

裂项抵消是重要的一种方法。

先将算式中的项进行拆分，

拆成两个或多个数字单位的和或差，

拆分后的项可以前后抵消。

裂项抵消分为“裂差”和“裂和”，

“裂差”就是我们前边讲过的这种类型，

分母为两个自然数的乘积，

分子是分母乘式中乘数与被乘数的差。

那么，“裂和”呢？

分母为两个自然数的乘积，

分子是分母乘式中乘数与被乘数的和。

一起来看下面这道题。

是不是和前面的那道题非常像？

分母和第一道题中的都一样，

2x3，3x4，4x5，5x6……49x50，

但是分子变了，不再都是1了。

但是，

我们发现，

5=2+3

7=3+4

9=4+5

11=5+6

……

99=49+50

我们是不是也可以写成这样的形式？

式中的第一项就可以写成：

以此类推，各项都可以这样化简：

原式就可以写成：

（符号千万别搞错了！）

式子中+1/3，-1/3，-1/4，+1/4……这些是不是都可以抵消为0？

最后，

我们就存头留尾，算出结果了。

（千万要注意最后一个分数前的符号别丢了）

最后得出的结果，和第一题的一模一样！

小 结

一般来说，满足上图中的一般公式的分式，即可转化为两个分式的和或差的形式。

考试中遇见类似分数计算规律的题目，裂项相消，存头留尾，注意符号，则题目就迎刃而解。