线性代数

2024-07-15 09:31| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录行列式的概念二阶行列式三阶行列式全排列逆序数n阶行列式特殊行列式行列式的性质利用性质计算行列式行列式按行（列）展开克拉默法则

行列式的概念二阶行列式 4个数排成2行2列的数表，记 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} ∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21 为该数表确定的二阶行列式。计算方法称为对角线法则。三阶行列式

∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

同样符合对角线法则全排列比如123的全排列：123、132、213、231、312、321有n!个，即n×(n+1)×…×1 逆序数 n个自然数构成一个排列，规定由小到大为标准次序，如果比pi大且排在pi前的数有ti个，就说pi这个元素的逆序数是ti，全部元素的逆序数之和为这个排列的逆序数。比如32514的逆序数：0+1+0+3+1=5 n阶行列式观察三阶行列式，右边每一项是不同行不同列元素的乘积，写成 a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3} a1p1a2p2a3p3，行标为标准次序，列标构成全排列设p1p2p3的逆序数为t，则各项的正负号为(-1)t三阶行列式可以写成 D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\sum (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3} D=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∑(−1)ta1p1a2p2a3p3n阶行列式记作 D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\sum (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∑(−1)ta1p1a2p2⋯anpn 特殊行列式对角行列式：除对角线外其余元素为0 ∣ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n \begin{vmatrix} \lambda _1 & & & \\ & \lambda _2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _n \end{vmatrix} = \lambda _1\lambda _2 \cdots \lambda _n ∣∣∣∣∣∣∣∣λ1λ2⋱λn∣∣∣∣∣∣∣∣=λ1λ2⋯λn反对角行列式 ∣ λ 1 λ 2 ⋅ λ n ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 λ 1 λ 2 ⋯ λ n \begin{vmatrix} & & & \lambda _1\\ & & \lambda _2 & \\ & \cdot & & \\ \lambda _n & & & \end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\lambda _1\lambda _2 \cdots \lambda _n ∣∣∣∣∣∣∣∣λn⋅λ2λ1∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)2n(n−1)λ1λ2⋯λn 逆序数： 0 + 1 + ⋯ + ( n − 1 ) = n ( n − 1 ) 2 0+1+\cdots+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2} 0+1+⋯+(n−1)=2n(n−1)下三角行列式 ∣ a 11 a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋱ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a22⋮an2⋱⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann上三角行列式、反下三角行列式、反上三角行列式同理分块行列式 D = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ 0 a k 1 ⋯ a k k c 11 ⋯ c 1 k b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c n 1 ⋯ c n k b n 1 ⋯ b n n ∣ = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k ∣ ∣ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ b n 1 ⋯ b n n ∣ D=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & \\ \vdots & & \vdots & & 0 & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} &b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ak1c11⋮cn1⋯⋯⋯⋯a1k⋮akkc1k⋮cnkb11⋮bn10⋯⋯b1n⋮bnn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ak1⋯⋯a1k⋮akk∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b11⋮bn1⋯⋯b1n⋮bnn∣∣∣∣∣∣∣ 行列式的性质行列式与它的转置行列式相等互换行列式的两行（列），行列式变号以ri表示第i行，cj表示第j列，交换i、j两行记作 r i ↔ r j r_i\leftrightarrow r_j ri↔rj，交换i、j两列记作 c i ↔ c j c_i\leftrightarrow c_j ci↔cj 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于0行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式记作ri×k 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面记作ri÷k行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则： D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 i + a 1 i ′ ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 i + a 2 i ′ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n i + a n i ′ ⋯ a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 i ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 i ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n i ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 i ′ ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 i ′ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n i ′ ⋯ a n n ∣ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i}+{a}'_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i}+{a}'_{2i} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni}+{a}'_{ni} & \cdots & a_{n n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{n n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & {a}'_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & {a}'_{2i} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & {a}'_{ni} & \cdots & a_{n n} \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1i+a1i′a2i+a2i′⋮ani+ani′⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1ia2i⋮ani⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1i′a2i′⋮ani′⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n个行列式。把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj 利用性质计算行列式

【例】 D = ∣ 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ∣ = c 1 ↔ c 2 − ∣ 1 3 − 1 2 1 − 5 3 − 4 0 2 1 − 1 5 1 3 − 3 ∣ = r 4 + 5 r 1 r 2 − r 1 − ∣ 1 3 − 1 2 0 − 8 4 − 6 0 2 1 − 1 0 16 − 2 7 ∣ = r 2 ↔ r 3 ∣ 1 3 − 1 2 0 2 1 − 1 0 − 8 4 − 6 0 16 − 2 7 ∣ = r 4 − 8 r 2 r 3 + 4 r 2 ∣ 1 3 − 1 2 0 2 1 − 1 0 0 8 − 10 0 0 − 10 15 ∣ = r 4 + 5 4 r 3 ∣ 1 3 − 1 2 0 2 1 − 1 0 0 8 − 10 0 0 0 5 2 ∣ = 40 D=\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2\\ -5 & 1 & 3 & -4\\ 2 & 0 & 1 & -1\\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix} \xlongequal{c_1\leftrightarrow c_2}-\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\ 1 & -5 & 3 & -4\\ 0 & 2 & 1 & -1\\ 5 & 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}\xlongequal [r_4+5r_1]{r_2-r_1} -\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\ 0 & -8 & 4 & -6\\ 0 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 16 & -2 & 7 \end{vmatrix} \\ \xlongequal{r_2\leftrightarrow r_3}\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\ 0 & 2 & 1 & -1\\ 0 & -8 & 4 & -6\\ 0 & 16 & -2 & 7 \end{vmatrix}\xlongequal [r_4-8r_2]{r_3+4r_2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\ 0 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 8 & -10\\ 0 & 0 & -10 & 15 \end{vmatrix}\xlongequal{r_4+\frac{5}{4}r_3}\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\ 0 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 8 & -10\\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} \end{vmatrix}=40 D=∣∣∣∣∣∣∣∣3−521110−5−13132−4−1−3∣∣∣∣∣∣∣∣c1↔c2 −∣∣∣∣∣∣∣∣11053−521−13132−4−1−3∣∣∣∣∣∣∣∣r2−r1 r4+5r1−∣∣∣∣∣∣∣∣10003−8216−141−22−6−17∣∣∣∣∣∣∣∣r2↔r3 ∣∣∣∣∣∣∣∣100032−816−114−22−1−67∣∣∣∣∣∣∣∣r3+4r2 r4−8r2∣∣∣∣∣∣∣∣10003200−118−102−1−1015∣∣∣∣∣∣∣∣r4+45r3 ∣∣∣∣∣∣∣∣10003200−11802−1−1025∣∣∣∣∣∣∣∣=40 注意：运算次序不能颠倒；r1+r2 ≠ r2+r1

行列式按行（列）展开 n阶行列式中，把aij所在行列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做aij的余子式，记作Mij记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做aij的代数余子式引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为0，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即 D = a i j A i j D=a_{ij}A_{ij} D=aijAij 证明：假设第一行中a11不等于0，其余元素皆为0，形如分块行列式。其余情形可通过交换变成这种情形。定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素的与其对应的代数余子式乘积之和，即 D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} \\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAinD=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj 证明：利用性质5推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即 a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = 0 , i ≠ j a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + ⋯ + a n i A n j = 0 , i ≠ j a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn} =0,i\neq j\\ a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj} =0,i\neq j ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0,i=ja1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0,i=j 证明：相当于把第j行（列）的元素换成第i行（列）的元素，两行（列）元素相同，行列式为0。克拉默法则

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn

如果线性方程组的系数行列式 D 不等于零，那么方程组有唯一解： x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , ⋯ , x n = D n D x_1=\frac {D_1}{D},x_2=\frac {D_2}{D},\cdots,x_n=\frac {D_n}{D} x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn 其中Dj为系数行列式 D 中第j列元素用方程组右端的常数项代替后得到的n阶行列式。定理1：如果线性方程组的系数行列式 D≠0，则方程组一定有解，且解是惟一的。逆否定理：如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为0。定理2：对于齐次线性方程组（bi皆为0），如果系数行列式 D≠0，则没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。

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