凸多边形区域划分为三角形问题

RT：

一个凸多边形区域，有N条边，将其划分为三角形区域，问共有多少种分割方法。

1.我们从最简单情况开始：N=3，f(3)=1;

2.当N=4，f(4)=2；

3.N边时

我们从节点1开始考虑，要想分割成三角形区域，1不能和与它相邻的点连接，所以1可以连接3,4,...,N-1;

假设1连接i,则分割成的两个区域分别为i凸多边形和N+2-i凸多边形，即对于节点1,f1(N)=f(3)f(N+2-3)+f(4)f(N+2-4)+...+f(N-1)f(3);

N多边形共N个点，对应于每个点有f1(N)中分割方法，总的分割方法为f(N)=Nf1(N),但是每增加一条边，其连接两个点，所以在f(N)中有

一半是重复情况，所以最终的分割方法为：

扩展：与此类似的问题还有：

1.n个节点可以构造多少不同的二叉树

 (1)n=0时，f(0)=1；

 (2)n=1时，f(1)=1；

 (3)n=2时，f(2)=4；

 (4) f(N)=N(f(0)f(N-1)+f(1)f(N-2)+...+f(i)f(N-1-i)+...+f(N-1)f(0));采用递归的思想，

      f(i)f(N-1-i)中f(i)表示左子树有i个节点可构造的二叉树数目，f(N-1-i)表示右子树有N-1-i个节点可构造的二叉树数目；

      两者相乘表示左右分别为i,N-1-i个节点时候这个大的二叉树的构造数目，又由于根节点的选择有N中选择方法，

　　所以可得总的构造方法数目如上式。

转自http://www.cnblogs.com/lixiaohui-ambition/archive/2013/01/09/2853519.html