6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（教案）

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第六章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 一、教学目标 1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题； 2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。 二、教学重难点 1.由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解； 2.由实际问题建立数学模型，画出示意图。 三、教学过程： 1、创设情境： 如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。 教师提出本节课解决的问题---------应用余弦定理、正弦定理解决实际问题 探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？ 测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ， 问题1：如何求AB间的距离？ 学生小组活动探究 二. 建构数学 1．（1）基线的概念 在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 （2）选择原则 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中的有关角的概念 (1)仰角和俯角 如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。 (2)方向角 如下图所示，从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 三. 数学应用 例1 完成探究1 解：在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离 变式训练：1.如图，设，两点在河的两岸，在所在河岸边选一定点，测量的距离为，，，则，两点间的距离是　　． 解：，，， 在三角形中，由正弦定理，得， ， 、两点的距离为， 2.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 例2 图，在点和点测得淮安电视塔塔顶的仰角分别为和（点、与塔底在同一直线上）又测得米，根据所测数据可求淮安电视塔的高度. 解:，，， 在三角形中，由正弦定理，得， ， 、两点的距离为， 答：淮安电视塔的高度50m． 变式训练：如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 解：设电视塔AB的高为x， 则在Rt△ABC中， 由∠ACB＝45°，得BC＝x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°， 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°， 解得x＝40， 答：电视塔的高为40 m. 例3.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： 则求救援船到达D点所需要的时间． 【答案】1小时. 【解析】由题意可知：在中，，，则， 由正弦定理得：， 由， 代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里. 在中，，，， 由余弦定理得： ， ，， 即该救援船到达点所需的时间小时. 故答案为:1小时. 变式训练：如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．乙船每小时航行_____________海里 【答案】30 【解析】连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30 ＝10 (海里)．又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里)． 因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)． 故答案为:30海里/小时 四、小结： 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 变形：，， 应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； （2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。 正弦定理： 应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

题型:(1)距离问题；(2)底部不可到达的建筑物的高度； (3)角度问题。 五、作业：习题6.4.3

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