高中数学：幂函数的概念、图象和性质

分析：先利用幂函数 的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。

解答：

而在上单调递增，且

，

。故 。

例3、若函数 在区间 上是递减函数，求实数m的取值范围。

分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。

函数 是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是 ，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在 和上都是递减函数。一般地，形如 的函数都可以通过对 的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。

解答：由于

，所以函数的图象是由幂函数

的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。

其单调递减区间是 和 ，而函数在区间 上是递减函数，所以应有 。

例4、若点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上，定义 ，试求函数 的最大值及其单调区间。

分析：首先根据幂函数的定义求出 ，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出 的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。

解答：设 ，因为点在的图象上，所以 ，所以 ，即；

又设 ，点在的图象上，所以 ，所以 ，即 。

在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有

。

根据图象可知函数的最大值等于 ，其单调递增区间是（ ，－1）和（0，1）；单调递减区间是 和 。

例5、已知幂函数 是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论 的奇偶性。

分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论 的奇偶性时要注意对字母的讨论。

解答：由在上是减函数得 ， 。∵ ， 0，1。

又因为是偶函数，∴只有当 时符合题意，故 。

于是

，

。

当 且 时，为非奇非偶函数；

当 且时，为奇函数；

当且 时，为偶函数；

当且时，为既奇又偶函数。

例6、已知幂函数 在 上是增函数，且在定义域上是偶函数。

（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中求得的函数，设函数 。问是否存在实数 ，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由。

分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答：（1）∵幂函数 在上是增函数，∴ ∴

又 ，∴

∵在定义域上是偶函数，∴只有当 时符合题意，故。

（2）由，则 。

假设存在实数，使得满足题设条件。令 ，则 。

∵在上是减函数，∴当 时， ；当 时， 。

若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则 在 上是减函数，且在 上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是 即 ，

∴

。

故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数。返回搜狐，查看更多