【矩阵论】范数和矩阵函数（2）

定义矩阵的范数是为了讨论矩阵的收敛性。 注：范数和矩阵函数这个系列的（1）（2）等划分是按照章节来的，与视频的分集并不完全一致。

在《【矩阵论】范数和矩阵函数（1）》中我们已经讨论过范数的定义，以及按照范数收敛的定义，如下。

对于一个矩阵序列来说，按照坐标收敛和按照范数收敛，其二者具有等价的意义。

有很多可能的矩阵序列，就我们讨论的意义来说，幂序列和矩阵幂级数是我们最关心的两类矩阵序列。

对于给定的方阵A，考虑方阵列{Ak}

（1）定理描述 （2）定理证明 按照矩阵范数的角度来进行证明，根据矩阵的相容性可以对||Ak||放缩成||A||k。 因为||A||0**，上述不等式两边同时约掉||ηi|| 则可得，||λi||≤||A||。

因为λi是A任取的一个特征值，说明矩阵A任意一个特征值的模长都小于矩阵A的矩阵范数，故ρ(A)≤||A||

通过矩阵序列（幂级数的部分和）的收敛性来定义矩阵幂级数的收敛性。

上文部分以及该系列的第(1)篇文章，都是我们为了讨论矩阵函数及其收敛性所做的准备工作，以下我们将开始讨论矩阵函数。

核心要义：通过将函数展开成级数，借助矩阵多项式的运算，把矩阵函数转换成相应的矩阵级数来讨论。

（1）定义描述 （2）常见的矩阵函数

记住重要的矩阵函数，关键在于记住重要的函数级数。 p.s. 以下三个级数的收敛半径都是无穷大，这意味着不论矩阵A的谱半径为多少，其相应的函数eA,sinA和cosA都是有意义的。

根据上述的定义，对于一些简单的或者高阶幂乘有特点的矩阵，可以快速求解其矩阵函数。 但是对于一些更加一般的矩阵，我们也希望找到求解函数的方法。 因为任意一个矩阵都有其对应的Jordan标准形，而且Jordan形也是上三角矩阵，具有一定的特殊性，于是我们从研究Jordan块的函数入手，来解决一般矩阵函数的求解问题。

（1）Jordan块的多项式函数 （2）Jordan块的任意解析式函数 先给出结论：上文最后得到的那个矩阵形式，不仅对于多项式函数成立，对于任意解析式函数也有同样的结果。 本质：从多项式函数到任意函数的过渡，可以借助部分和与无穷级数之间的关系。

同样延续上面的思路，得到Jordan形矩阵的函数，就是对矩阵各个对角块上的Jordan块分别代入函数即可。

在讨论Jordan块和Jordan形矩阵时，我们已经梳理了思路，任何矩阵都有其对应的Jordan形，所以可以把Jordan形的结论应用在一般矩阵的函数求解上。

【定理证明】 假设现在有一个解析函数f(x) = lim fm(x)，以及有一个一般矩阵A，且已知P-1AP = J（J就是A对应的Jordan标准形），即A可以表示成A = PJP-1；

那么可知f(A) = lim fm(A) = lim P（fm(J)）-1P-1

因为fm(x)是个多项式函数，而P矩阵在这里是确定的常量矩阵，所以将A代入fm(x)相当于只把J代入多项式函数中。

根据极限运算，f(A) = p(lim fm(J))P-1 = Pf(J)P-1

因为P矩阵是关于下标m的不变量，因此关于m求极限的时候，P矩阵可以直接提出不参与极限运算。

这个定理在线性代数课程中对于多项式函数f已经验证过是成立的，此处只不过将f推广到任意解析式函数。 也可以借助前面的定理来理解，已知f(A) = Pf(J)P-1，所以f(A)和f(J)肯定是相似的，具有相同的特征值。 而J是Jordan标准形，f(J)依然是上三角矩阵，其主对角线上的元素就是其特征值，而对角线上的元素，也就是将数值代入f函数中计算后得到的结果（根据Jordan块和Jordan标准形的函数可知）。

按照前面将任意矩阵化简成Jordan标准形的思路，虽然可行，但是求解Jordan矩阵和与之对应的变换矩阵计算量太大。 因此，我们有以下名为“待定系数法”的方法

证明： 关于Jordan形和最小多项式的定理细节部分可以参考博文《【矩阵论】矩阵的相似标准型（4）（5）》

基于上述的思路，可能原本函数f是一个形式十分复杂的函数，接下来我们只需要构造一个多项式函数g，满足定理中的若干约束即可。 也就是可设g(x) = a0+a1x+…+ap-1xp-1，那么按照定理中的约束，即可得到p个方程进行系数求解。 p.s. 这里还要注意p = Σri-1（也就是最小多项式的总次数-1）

（1）利用定义进行计算（适合高阶幂有特点的矩阵） （2）Jordan形矩阵的函数计算 同理，要求解sinAt，相当于解析式函数从sinx变成了sinxt，求解思路完全一致，答案见下方。 （3）一般矩阵的函数计算

要想利用上文讨论的定理，借助Jordan标准形的函数结果来求得一般矩阵的函数，就需要先求解出矩阵A对应的Jordan标准形J以及相应的变换矩阵P。 根据矩阵的特征量信息来确定Jordan标准形的形式，可以参考以下博文，其中有例题讲解。 《【矩阵论】矩阵的相似标准型（4）（5）》

下面使用待定系数法求解一般矩阵的函数值。

【求解过程】 其中当f(A) = eAt时，求解思路与上述一致，只是代入方程组求解出来的系数a和b不同而已，答案应为g(A) = f(A) = (1-t)etI+tetA.

1. 性质描述

p.s.上图中性质2处的表述应该是“则eAB = eBA = eA+B”,截图时忘记修改，望读者注意。

2. 性质证明 ①性质1直接利用矩阵函数的定义，将自然常数e进行级数展开，将零矩阵O代入，即可得到相应结果。

②将eAB和eA+B项都分别按照级数展开，然后讨论其中的一般项AkBl项的系数，两边都对应相等，所以两个式子也相等。

P.S. 上述证明过程中，能够用组合式来求解某一般项AkBl的系数，是使用了二项式定理，而该定理的成立是基于两个项A和B是可交换的。 那么若A和B是不可交换的，我们可以通过举反例来说明此时性质2不再成立。

③在定理描述部分已经进行了证明，参考上上图。

应用上述性质，可以简化矩阵函数的计算过程。

【例】矩阵函数的计算