二分

本页面将简要介绍二分查找，由二分法衍生的三分法以及二分答案。

二分查找（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

二分查找的最优时间复杂度为 。

二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 。因为在二分搜索过程中，算法每次都把查询的区间减半，所以对于一个长度为 的数组，至多会进行 次查找。

迭代版本的二分查找的空间复杂度为 。

递归（无尾调用消除）版本的二分查找的空间复杂度为 。

参考 编译优化 #位运算代替乘法，对于 是有符号数的情况，当你可以保证 时，n >> 1 比 n / 2 指令数更少。

注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 ，不满足看做 ，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。

要求满足某种条件的最大值的最小可能情况（最大值最小化），首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」，然后去判断是否合法。若答案单调，就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。因此，要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目，需要满足以下三个条件：

当然，最小值最大化是同理的。

C++ 标准库中实现了查找首个不小于给定值的元素的函数 std::lower_bound 和查找首个大于给定值的元素的函数 std::upper_bound，二者均定义于头文件 <algorithm> 中。

二者均采用二分实现，所以调用前必须保证元素有序。

bsearch 函数为 C 标准库实现的二分查找，定义在 <stdlib.h> 中。在 C++ 标准库里，该函数定义在 <cstdlib> 中。qsort 和 bsearch 是 C 语言中唯二的两个算法类函数。

bsearch 函数相比 qsort（排序相关 STL）的四个参数，在最左边增加了参数「待查元素的地址」。之所以按照地址的形式传入，是为了方便直接套用与 qsort 相同的比较函数，从而实现排序后的立即查找。因此这个参数不能直接传入具体值，而是要先将待查值用一个变量存储，再传入该变量地址。

于是 bsearch 函数总共有五个参数：待查元素的地址、数组名、元素个数、元素大小、比较规则。比较规则仍然通过指定比较函数实现，详见 排序相关 STL。

bsearch 函数的返回值是查找到的元素的地址，该地址为 void 类型。

注意：bsearch 与上文的 lower_bound 和 upper_bound 有两点不同：

用 lower_bound 可以实现与 bsearch 完全相同的功能，所以可以使用 bsearch 通过的题目，直接改写成 lower_bound 同样可以实现。但是鉴于上述不同之处的第二点，例如，在序列 1、2、4、5、6 中查找 3，bsearch 实现 lower_bound 的功能会变得困难。

利用 bsearch 实现 lower_bound 的功能比较困难，是否一定就不能实现？答案是否定的，存在比较 tricky 的技巧。借助编译器处理比较函数的特性：总是将第一个参数指向待查元素，将第二个参数指向待查数组中的元素，也可以用 bsearch 实现 lower_bound 和 upper_bound，如下文示例。只是，这要求待查数组必须是全局数组，从而可以直接传入首地址。

因为现在的 OI 选手很少写纯 C，并且此方法作用有限，所以不是重点。对于新手而言，建议老老实实地使用 C++ 中的 lower_bound 和 upper_bound 函数。

解题的时候往往会考虑枚举答案然后检验枚举的值是否正确。若满足单调性，则满足使用二分法的条件。把这里的枚举换成二分，就变成了「二分答案」。

伐木工人米尔科需要砍倒 米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以像野火一样砍倒森林。不过，米尔科只被允许砍倒单行树木。

米尔科的伐木机工作过程如下：米尔科设置一个高度参数 （米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 ，并锯掉所有的树比 高的部分（当然，树木不高于 米的部分保持不变）。米尔科就得到树木被锯下的部分。

例如，如果一行树的高度分别为 ，米尔科把锯片升到 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 ，而米尔科将从第 棵树得到 米木材，从第 棵树得到 米木材，共 米木材。

米尔科非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。你的任务是帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度 ，使得他能得到木材至少为 米。即，如果再升高 米锯片，则他将得不到 米木材。

我们可以在 到 中枚举答案，但是这种朴素写法肯定拿不到满分，因为从 枚举到 太耗时间。我们可以在 的区间上进行二分作为答案，然后检查各个答案的可行性（一般使用贪心法）。这就是二分答案。

看完了上面的代码，你肯定会有两个疑问：

为何搜索区间是左闭右开的？

因为搜到最后，会这样（以合法的最大值为例）：

然后会

合法的最小值恰恰相反。

为何返回左边值？

同上。

如果需要求出单峰函数的极值点，通常使用二分法衍生出的三分法求单峰函数的极值点。

客观上，求出导数后，通过二分法求出导数的零点（由于函数是单峰函数，其导数在同一范围内的零点是唯一的）得到单峰函数的极值点是可行的。

但首先，对于一些函数，求导的过程和结果比较复杂。

其次，某些题中需要求极值点的单峰函数并非一个单独的函数，而是多个函数进行特殊运算得到的函数（如求多个单调性不完全相同的一次函数的最小值的最大值）。此时函数的导函数可能是分段函数，且在函数某些点上可能不可导。

只要函数是单峰函数，三分法既可以求出其最大值，也可以求出其最小值。为行文方便，除特殊说明外，下文中均以求单峰函数的最小值为例。

三分法与二分法的基本思想类似，但每次操作需在当前区间 （下图中除去虚线范围内的部分）内任取两点 （下图中的两蓝点）。如下图，如果 ，则在 （下图中的红色部分）中函数必然单调递增，最小值所在点（下图中的绿点）必然不在这一区间内，可舍去这一区间。反之亦然。

在计算 和 时，需要防止数据溢出的现象出现。

三分法每次操作会舍去两侧区间中的其中一个。为减少三分法的操作次数，应使两侧区间尽可能大。因此，每一次操作时的 和 分别取 和 是一个不错的选择。

给定一个 次函数和范围 ，求出使函数在 上单调递增且在 上单调递减的唯一的 的值。

本题要求求 次函数在 取最大值时自变量的值，显然可以使用三分法。

参见：分数规划

分数规划通常描述为下列问题：每个物品有两个属性 ，，要求通过某种方式选出若干个，使得 最大或最小。

经典的例子有最优比率环、最优比率生成树等等。

分数规划可以用二分法来解决。