初二数学下册：平行四边形判定5大常用方法​

平行四边形的判定方法主要有：

（1）两组对边分别平行；

（2）两组对边分别相等；

（3）一组对边平行且相等；

（4）对角线互相平分；

（5）两组对角分别相等。

平行四边形的上述判定方法，分别从边、对角线、角三个角度，给出了确定一个四边形是平行四边形的根据。

如图，点E、F为平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF。求证：四边形EBFD是平行四边形。

证法1：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD。

∴∠BAC＝∠DCA。

∴∠BAE＝∠DCF（等角的补角相等）。

∴△BAE≌△DCF（SAS）。

∴∠BEA＝∠DFC（全等三角形的对应角相等）。

∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）。

同理可得：DE∥BF。

∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（1））。

证法2：同上证法，可得△BAE≌△DCF。

∴BE＝DF。

同理可得：△DAE≌△BCF（SAS）。故DE＝BF。

∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（2））。

证法3：同证法1可得△BAE≌△DCF。

∴BE＝DF。∠BEA＝∠DFC。

∴BE∥DF。

∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（3））。

上面的三种方法都借助了△BAE≌△DCF，只是最后几步出现了差异。

证法4：如图2，连接BD交AC于点O。

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO。

又∵AE＝CF，

∴AO＋AE＝CO＋CF，即OE＝OF。

∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（4））。

这种方法能够紧紧抓住条件的整体特征，构造出了四边形EBFD的对角线，从而证明了四边形是平行四边形。

证法5：可根据前面证法所得到的△BAE≌△DCF和△DAE≌△BCF，得到∠EBF＝∠FDE，∠BED＝∠DFB。

∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（5））。

这种方法从角的角度证明了所给的四边形是平行四边形。

上面这些证法中，证法3、证法4最简便。

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