黎曼几何（刘世平）

我是在大二下学期修读的这门课，两年后担任这门课的助教。关于这门课还是有一些想说的，简单总结一下。

前置知识：拓扑学，微分流形，微分方程1。

关于给分：这门课没有期中考试，只有平时分与期末卷面两个部分，平时分只要交了作业都是满分。研究生与本科生的给分方式有所不同，研究生按照平时：期末=65%：35%给总评；本科生按照平时：期末=40%：60%给总评，优秀率是32%。另外，今年刘老师没有调分，不会特别照顾卡g的同学，所以一些拿了89，84的同学可能有一些怨言，这我非常能理解。不过不调分本身就是一种正常操作，不能因为调分的老师比较多就把它当成理所当然。唯一非常遗憾的是今年没有本科生总评拿到4.3。

综述：用一句话概括，黎曼几何这门课就是研究黎曼流形上的联络理论以及由联络所产生的附加产品。所以，学习这门课我们首先要搞清楚什么是黎曼流形？什么是联络？在牛顿经典力学时代，我们认为我们生活的空间是一个平坦的欧式空间，而广义相对论之后，人们认识到，我们生活的空间其实是弯曲的黎曼流形。所以这也是为什么我们要研究黎曼流形：因为我们生活的宇宙是一个黎曼流形。在经典力学中我们描述一个系统随时间演化需要一个非常重要的概念：导数。在黎曼流形上我们也可以类似的定义导数，数学家给这个导数起了个新名字：联络。也可以这么讲，这门课的本质就是“多变量微积分”，我们在大一学的“数学分析A2”可以认为是局部的、平坦的黎曼几何。故而，从多变量微积分走到黎曼几何，我们需要做两件事：一是从局部走向整体，二是从平坦走向弯曲。理解什么是黎曼流形本质就是如何从局部走向整体；理解什么是联络本质就是如何从平坦走向弯曲。

基础内容：黎曼流形与联络

（1）如何从局部走向整体？

（2）如何从平坦走向弯曲？

（3）由“联络”所产生的衍生品：曲率。

这些最基础的内容大概会占据前半个学期，后半学期开始进入几何分析的入门，例如给定曲率条件下流形的几何。这里我们先给一个直观的描述，曲率为正的流形可以看成“被吹起的气球”，它是鼓起来的、膨胀的；而负曲率流形可以看成失去水分的蔫的苹果，它是干瘪的、坍缩的。事实上，正曲率与负曲率的几何差别是非常大的，会产生完全不同的几何。相关的问题非常丰富，所使用的工具也非常广泛：非线性分析、度量几何、几何测度论、可积系统、微局部分析……。很多问题时至今日依然是开放性的。所以，一个学期的时间仅仅只够入门，介绍一下最最基本的概念和方法。

联络与曲率的引进：联络是一个非常深刻的概念，正如前面所讲，它是“求导”这个概念在弯曲空间的推广。关于联络严格的数学定义，有很多种，这门课所介绍的大致有以下几种：

（a）通过主丛的联络诱导：这种方法的好处是他是最内蕴的、最自然的，说它是最自然的是因为，由于主丛的切空间可以自然的取出纤维的垂直部分，所以我们只要规定一个平行部分，就可以得到一个联络，这是一个一一对应；说它是最内蕴的，是因为他完全只依赖于结构群（结构群是内蕴性质），其结构确定了（主丛确定了），就可以把它表示到任何向量丛（副丛）。这种定义还有一个好处，他可以用一种非常直观的几何解释什么是曲率：由于垂直部分与水平部分作为线性空间是自然分裂的，我们很自然的想知道这种分裂多大程度上保持了李代数结构，而曲率非常好地描述了水平部分的 Lie 结构是如何与垂直部分缠绕在一起的。

（b）通过平行移动引入联络：我们谈论导数其实就是在谈论一个质点运动的速度，一个前提条件是这个质点要在“一个空间中运动”，如果这个质点一会在这个空间，一会又“瞬移”到另一个空间，那么我们是没有办法谈论速度和导数的。我们现在仔细地扣一下之前学过的一些概念的定义：在平面上考虑两个向量，如果起点相同，我们就认为这两个向量在同一个空间，对于一族起点相同的向量v(t)，我们就可以对终点的移动求导。事实上，如果一族向量的起点不同，他们就不属于同一个“切空间”，所以我们是不能定义导数的！然而在欧式空间中，我们可以做一些“操作”，使得起点不同的向量族也可以求导。我们很容易发现：一个向量的平移，只要起点和终点确定，无论沿着哪条曲线移动，移动的结果都是一样的。于是我们便可以把这些向量都平移到原点，然后再求导。但是正是这个事实过于显然，也就导致了我们在多变量微积分中学习求导时并没有考虑那么多，甚至没有意识到再求导之前我们已经进行了“平移”这样一个操作。然而这个事情在弯曲空间中就出现了问题，就拿最简单的球面来说，北极点处一个切向量沿着不同的经线走到南极点，结果并不相同（学过微分几何的同学可以用 Gauss-Bonnet 公式看的更清楚）。这就意味着，我们不能天真的认为我们可以很轻松的定义导数了。联络的出现解决了这个问题，我们就把联络定义成一种“平移的规则”。一个联络，就是一个如何平移的法则。当然这种法则要满足一定的约束或公理。刘世平老师的这门课就是用这种方法引入联络的，它有着非常好的几何直观，对于初学者是非常友好的。

（c）通过弧长变分引入联络：我们知道黎曼流形上是具有长度结构的，所以我们就把所有的可求长曲线拿出来，组成一个空间，通过一些简单的分析，我们可以很容易得知：分段光滑的曲线在这个空间中是稠密的，所以为了方便起见，我们可以转化为研究所有分段光滑的曲线组成的空间（下文记为“W”）。每一个这样的曲线都有一个确定的长度，故而长度便是这是这个空间上的一个泛函，我们还可以注意到，一个曲线会有很多种参数化的方式，这就把问题复杂化了，于是我们引进了能量泛函的概念，把那些不均匀的参数化过滤掉。有了这些概念，我们就可以引进联络和曲率。在边界条件比较好的时候，联络就是能量泛函的一次导数（一阶变分的积分核函数），曲率就是二次导数（二阶变分的积分核函数）。测地线就是一阶变分的零点，所有测地线组成W的子空间，这个子空间的切空间就是 Jacobi 场，这个空间还有比较好的叶状结构，其边界的奇点就对应于流形共轭点……用这种方法引入联络，更加宏观，也可以很自然地将课程后期的概念引进来。

（d）通过代数的方法引入联络：由于余切丛具有代数结构，我们还可以用代数的方式定义导子，从而定义导数，这种方法的好处是可以推广到带有奇点的轨形或更一般的代数簇，同时，在格罗滕迪克的观点下，导子还是一个可表函子，那么就会有很好的范畴性质。然而这种方法的缺点在于不够直观，对于这门课而言，不会在这里进行过多的讨论。

关于流形上的分析，可以讨论的内容非常丰富，包括热核分析，典范度量的存在性，曲率条件对几何的影响，几何流与孤立子，极小曲面，子流形几何，等等。一个学期的时间没有办法对这些理论做出全面的介绍（先挖个坑，以后有时间我再一个个补充吧）。

典范度量：（注：这部分内容来自我本人的习题课讲义，原稿是英文的 /uploads/files/0a6c1f9ff0e5fec5fd767df4c4954e3c666f5073.pdf）

几何分析学家总是想在给定流形上找到一个“好”的度量，这似乎是典范的。“好”的定义可能是个微妙的问题。一个自然的想法是，它使一些常见的泛函，如数量曲率泛函，达到其最小值。数量曲率是高斯曲率的高维推广。Yamabe 曾提出这样一个问题，我们是否能找到一个度量，使其数量曲率等于一个给定的光滑函数，进一步，这个度量能否限制在给定的共形等价类中。在他的原始论文中，他声称任何不低于三维的紧黎曼流形可以逐点共形等价于常数量曲率度量。Trudinger 指出其证明中有一个严重漏洞，他的断言是有疑问的。后来 Kazdan 和 Warner 证明了只要函数在某个地方是负的，就有一个度量，其数量曲率与给定的函数一致。考虑到这一点，我们会很自然的认为找到一个在每个点上数量曲率都为正的度量应该并不困难，因为它只是整个度量结构上的一个不等式。然而事实上，正数量曲率度量的存在是有拓扑障碍的。

实际上，某些流形不可能具有正数量曲率度量。例如，圆环上不存在任何数量曲率恒为正的度量。在二维的曲面中，我们考虑了流形上的高斯曲率问题，我们研究高斯曲率的关键是 Gauss-Bonnet 公式，它根据欧拉示性数对紧致二维流形的高斯曲率施加符号限制。在高维情形中，我们也有一个拓扑不变量，它为某些特殊流形的正数量曲率存在性提供了一个拓扑的必要条件。Lichnerowicz 证明了如果在紧偶数维自旋流形上数量曲率是非负的，但不是完全零的，那么就没有调和旋量场。从这个事实出发，利用Atiya-Singer 指标定理，可以得出这样一个流形的Hirzebruch A 亏格属必须为零。因此，在A 亏格不为零的紧致自旋流形上，不能有非负数量曲率的度量，除非恒为零。这种流形的例子出现在自旋配边理论中。当一个流形是单连通且自旋的，我们可以把A 亏格推广为 α(M)，它可以完全刻画此时流形是否存在一个正数量曲率的度量。这个不变量 1974 年由 Hitchen 首次提出，并证明了如果有一个度量具有正的数量曲率，那么α(M)=0。Stolz 于1990年证明了逆命题。事实上，只有在维数模8余0、1、2、4时，α(M)才有可能不为零，这也就意味着在其他维数，是不存在恒正数量曲率的。而即使在这些维度中，这种这种判别法也只适用于自旋流形，如果M没有旋量结构，那么它总是存在一个正的书量曲率度量。

在 Yamabe 的观点下，“好”的度量可以认为是具有常数量曲率的度量。这个常数不能随意选取。Yabame 不变量（这是一个共形不变性），刻画了这个常数。正因为 Yamabe 泛函的 Euler-Lagrange 方程存在非平凡解，所以我们可以在共形等价类中找到 Yamabe 度量，它有常数量曲率。

总的来说，这门课是一个比较硬核的课程，但相比于王作勤老师的讲法，刘老师更注重几何直观，对于初学者更加友好。