几何建模的概念梳理

几何建模(geometric modelling)，区分于行为建模、物理建模等其他三维建模方式，是一种使用几何方法描述三维空间物体的形状的建模思想。在几何模型中包含几何和拓扑信息，几何信息描述了模型中所有与数字有关的信息，而拓扑信息描述了这些数字之间的关系。

几何建模的三种基本方法包括:线框建模、曲面建模、实体建模。几何建模的三种方法对应三种模型:线框模型、曲面模型、实体模型。线框模型只具有形状的一部分曲线信息，并不能精确地表达形状。通过线框模型，能够进一步构造出曲面模型。曲面模型既能表达形状的结构线，也能表达完整的曲面形状，但是曲面模型没有体积，对于自然界而言，这样的形状也是不存在的。而通过曲面模型，还能进一步构造出实体模型。实体模型既能表达结构线和曲面，还能表达体积，实体模型是所有模型中形状信息最为全面的，因此常常使用在需要高精度模型的工程和医学行业中。 而不管是线框建模、曲面建模还是实体建模，都有两种数学上的描述形状的方案:隐式和显式。 隐式(implicit)，指的是使用一系列方程组的等式或者不等式所描述的形状。这种方式能够很准确的描述一些标准图元(primitive)，例如球体、圆锥，或者一些复杂的几何分型或代数曲面，例如三维周期性极小曲面(triply periodic minimal surface)和三角函数等势面(trigonometric level surface)等。这种方案优点是，存储形状的数据小，且做相交、剪切、变形等操作时运算速度快。但这种方案的缺点在于，形状不易于计算机显示，必须要先采样得出大量形状表面上的点，再用点来完成可视化。对于一些曲率变化大的形状，很难提前判断出哪些部位需要增加采样，容易造成显示精度不足的问题，而如果对整个模型增大采样率又会在屏幕显示上消耗大量计算。同时，改变形状时需要修改一些方程的参数，这类参数的几何意义往往是抽象而缺乏直观的。对于依赖屏幕显示来进行视觉交互的设计师们，这显然是隐式模型致命的缺陷。 为了解决这一问题，显式(explicit)诞生了。与隐式相反，这种方案不擅长精确描述标准图元的形状，但是擅长描述一些非标准的形状，并且最重要的是，用户能够直观地操作这些形状，操作的结果是可控、可预期的。

显式也包括两种解决方法。一种着重于增加设计师对形状控制的直观性，这种方法依旧使用方程组来描述形状，但使用的是易于设计师理解的参数方程组。其思想是用控制点、节点、或者切线向量作为参数，计算插值方程，由插值方程表达曲线、曲面和实体。从bezer到bspline再到nurbs的这一条发展分支就是第一种解决方法的经典。其优点是，几何信息相对完整(参数方程保存了良好的形状信息)，形状表达比较直观(控制点、节点、切线)，用户容易对形状进行控制。由于其几何准确性，这种方法在工程中被大量运用， 但第一种显式方法依旧有缺点。其缺点是，存储数据大，显示依旧不够方便，并且在做相交、剪切、变形等操作时运算速度慢(这些问题和隐式相同)。于是第二种方法就出现了。第二种方法从计算机显示的角度出发，以牺牲几乎所有的几何信息为代价，换取高效的显示速度和计算速度。其核心思想是，通过一系列形状表面上的点来表达形状。这种方法不涉及代数方程，唯一的几何信息只剩下点的空间坐标。其典型代表是pointcloud(没有拓扑信息)、polygonmesh(有拓扑信息)等。这种方法的优点在于，模型不仅易于设计师控制，对于光栅显示器的渲染计算也有很高的兼容性。于是这种方法很快在影视特效、游戏等需要大量视觉效果的行业中流行起来。因为牺牲了大量几何信息，且具有许多不同的特性，所以这种方法也逐渐从被几何模型中脱离出来单独讨论。 通过一组方程和定义域(不论隐式或是显式)，很容易就能在描述出简单的曲线、曲面和实体。这种建模思想可以理解为，点在路径上移动形成曲线，曲线在路径上移动形成曲面，曲面在路径上移动形成实体。这一经典构造实体的方法称作扫描法(sweeping)。但是对于一些曲率不连续的曲面、实体，例如工业造型中一些形状复杂的模型而言，这很难仅仅通过扫描法来描述。于是，出现了边界表示法(brep)和构造实体几何法(csg)。其中，csg的建模方法是由实体和实体之间一系列运算法则构成的，又称作布尔运算。对于brep和csg的方法，主要用于工业造型的领域。