福建省福州市九县（市、区）一中2023

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2023-2024学年度第二学期九县（区、市)一中期末联考高中二年数学科试卷完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合，，若，则（ )A． B． C． D．2．已知实数a，b，c，d满足，则下列不等式一定正确的是（ )A． B．C． D．3．命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（ )A．100 B．120 C．125 D．1505．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ )A．24 B．25 C．26 D．276．的展开式中，常数项为（ )A． B． C．141 D．1407．已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围为（ )A． B． C． D．8．已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（ )A．为偶函数 B．C．在上单调递减 D．有最大值二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对具有相关关系的两个变量x和)进行回归分析时，下列结论正确的是（ )A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强B．若所有样本点都落在一-条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3D．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和210．已知事件A，B，且，，，则（ )A． B．C． D．11．已知函数，则（ )A．的图象关于对称B．C．D．在区间上的极小值为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第一空2分，第二空3分12．已知函数为奇函数，则实数a的值为______．13．某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种．14．定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分)对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下：甲品牌 乙品牌 其他品牌市场占有率 50% 30% 20%（1)从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率；（2)已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为40%，30%，50%，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率．16．（15分)某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后，（1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表：优等品 非优等品 总计甲车间乙车间总计依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001)，其中．下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．0.1 0.05 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828（2)调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y．关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程．参考公式：，其中17．（15分)已知函数，（1)讨论函数函数的的单调性；（2)若函数有极值点，（i)求实数a的取值范围；（ii)判断的零点个数．18．（17分)甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球．（1)当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，；（2)当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小；（3)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：)19．（17分)已知函数．（1)证明：恰有一个零点a，且；（2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法"．任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交x轴于点；在点处作的切线，交x轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值．（i)设，求的解析式；（ii)证明：当，总有2023-2024学年第二学期高3二九县（区、市)期末联考高二年级（数学)评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C B A B C B D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号 9 10 11答案 BD ABC ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第-空2分，第二空3分．12．0． 13．16，16 14．215四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共5大题，13分+15分+15分+17分+17分，共77分)15．（1)解法1；随机抽取1部手机，是甲品牌的概率0.5，抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率．解法2：随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为，抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率．（2)解：从该地区所有品牌手机中随机抽取1部，记事件，，分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”则，，，，，，所以．，该手机价位不超过4000元的概率为0.39．16．（1)优等品 非优等品 总计甲车间 40 10 50乙车间 30 20 50总计 70 30 100设：车间与优等品无关．根据小概率值的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为两车间的优等品有差异．（2)解：依题意得：，又因为，，故，所以经验回归方程为17．（1)解：函数的定义域为，①当时，恒成立，在上单调递减②当时，令，得（舍去)x+ 0 -递增 极大值 递减的单调递增区间为，单调递减区间为综上所述：当时在定义域上单调递减；当时的单调递增区间为，单调递减区间为．（2)解：（i)由（1)知（ii)由（1)知的极大值为当即时，，则无零点；当即时，，则有1个零点：当即时，，令，，，在上单调递减，有2个零点；（注：当时的情况，没有给出函数值为负值的2个特殊点，直接得出2个零点，给1分)综上所述：当时，无零点；，当时，有1个零点；当时，有2个零点18．（1)对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，则，或【】（2)解：，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为：又，则．（3)因为，，，即，即，即，由题意知，从而，化简得，解法1：又，，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，【此处证单调性另解：为对勾函数，，（当且仅当时取等)．所以在上单调递减，在上单调递增】所以在处取得最小值，从而在时单调递增，当时，，又，，当时，符合题意考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍，所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．解法2：化简得，或，N为整数，或，都是整数，则N一定是5的正整数倍，所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．19．（1)，定义城为，所以，在上恒成立，所以函数在上单调递增，因为，，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点a，且；（2)（i)由（1)知，所以，曲线在处的切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为，即，令得，所以，切线与x轴的交点，即，所以，；证明：（ii)对任意的，由（i)知，曲线在处的切线方程为：，故令，令，所以，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，另一方面，由（i)知，，且当时，（若，则，故任意，显然矛盾)，因为是的零点，所以，因为为单调递增函数，所以，对任意的时，总有，又因为，所以，对于任意，均有，所以，，，所以，综上，当，总有．

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