从庞加莱到拉卡托斯

以笛卡尔为代表的理性主义者致力于用公理化方法构建哲学理论。笛卡尔基于理性的怀疑清除自身的偏见筛选出一组公理，第一条即是著名的“我思故我在”。

3．经典力学和经典世界观

1687年，牛顿（Isaac Newton，1642～1727）在《自然哲学之数学原理》中建立了经典力学的理论体系。在定义了物质的量、运动的量、物质固有的力、外力、向心力等概念后，牛顿描述了时间、空间、处所和绝对运动，然后给出“运动的公理或定律”，即人们熟知的牛顿三大运动定律：

“定律Ⅰ每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。”

“定律Ⅱ运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。”

“定律Ⅲ每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反。”[2]

从牛顿经典力学建立开始，经过大约200年的发展，到19世纪七八十年代，形成了一种经典世界观，可以粗略地描述为：“一个牛顿的绝对时空框架；一个由不变的、不可分割的原子组成的世界；一种为电磁场以及光和辐射热以波动方式传播提供基础的以太基质。此外，这样一种由19世纪下半叶的物理学家构建起来的世界观还包括了两条重要原理，即物质和以太两者之间存在着相互作用，能量媒介要遵从几条用数学公式表述的严格的热力学定律。正是这两条原理，才使经典世界观具有了极大的统一性、简明性和谐和性。”[3]

4．康德

到18世纪后期，人们发现，17世纪提出的为哲学乃至更一般的知识体系奠基的任务远未完成。18世纪末，康德（ImmanuelKant，1724～1804）在其三大批判中试图以理性主义原则和实质公理方法为他心目中的全部哲学奠基，使哲学成为真正的科学，其中对应于形而上学的是《纯粹理性批判》（1781）。

康德注意到，我们对世界的认识，从根本上受到我们的认识能力的限制。只有对那些适合我们认识能力的对象，我们才有可能获得真知识。于是，首要任务就是彻底搞清楚人类的认识能力究竟如何。这就是《纯粹理性批判》试图完成的任务。为此，康德提出的三个著名问题：我能知道什么？（对象）我应当做什么？（方法与过程）我可以希望什么？（结果）在这样的审查中，奠定形而上学（乃至全部哲学）的可靠基础。

康德认为，人类容易将经验范围内获得的知识作为进一步推理的前提，以便推出更根本的、具有更普遍意义的结论，这很可能将我们导入歧途。为了避免将经验层面上被验证的东西当作绝对的东西，康德定义了先天、先验、超验三个概念，试图将绝对的、本质的东西与经验的、表象的东西彻底区分开来。康德所说的先天知识，是完全不依赖于任何经验所发生的知识。与之相反的是经验知识。先天知识中完全没有掺杂任何经验性东西的知识称为纯粹的先天知识。先天知识具有两个特征：第一是必然性，第二是严格普遍性。先验知识则是关于先天知识的先天知识。康德称超验对象为物自体，包括自由意志、灵魂和上帝，它们在本质上是不可认识的。[4]

康德认为他心目中的先天综合知识可以作为可靠知识的出发点。在《纯粹理性批判》导言中，他提出：一切数学命题都是先天判断[5]，同时，“数学的判断全都是综合的”并且随即作了简要的论证[6]，于是，全部数学都是先天综合判断。然后他提出：“自然科学（物理学）包含先天综合判断作为自身中的原则”，“在形而上学中，也应该包含先天综合的知识”[7]。全书的主要目的是论证“先天综合判断是如何可能的”，包括“纯粹数学是如何可能的”、“纯粹自然科学是如何可能的”[8]以及“形而上学作为科学是如何可能的”[9]。正文分为两大部分，在第一部分“先验要素论”中，他依次论证空间、时间都是先验的，然后导出先验逻辑的概念，即“一门关于纯粹知性知识和理性知识的科学的理念，用来完全先天地思维对象”，“一门规定这些知识的来源、范围和客观有效性的科学”[10]。然后用主要篇幅论述先验逻辑。正文第二部分“先验方法论”主要论证数学和哲学。

直到18世纪末之前，人们坚信欧几里得《原本》中的公设和公理是不证自明的，坚信《原本》所代表的数学理论体系是物理世界的真实反映，坚信经典力学的逻辑基础是稳固的并且完美揭示了物理世界的性质和规律，坚信可以用类似于欧几里得的方式为哲学奠基，康德正是这种信念的主要代表。

但是很不幸，1820年代双曲几何的建立，表明欧几里得几何不是绝对的；1931年哥德尔不完全性定理的发表，表明自然数算术的相容性在通常的数学公理体系中是不能证明的；20世纪中叶，数学哲学中的直觉主义者找到了古典逻辑中排中律失效的例证，并且容易理解这样的例证不可能被消除，从而表明古典逻辑不是绝对的；1905年，爱因斯坦发表狭义相对论，表明时间概念不是绝对的，1916年，他发表广义相对论，从物理学角度表明欧几里得、牛顿的空间概念不是绝对的，1919年，天文观测证实大尺度空间是弯曲的。这些工作意味着，康德最初认定的先天知识并不具有他期望的性质，他以这些知识为整个知识大厦奠基的方案是不能成功的。

5．数学基础

康德之后，对哲学基础的思考长期引人注目。在数学领域，双曲几何建立后，几何基础成为数学领域的核心问题之一，同样重要的还有分析基础，在19世纪结束之前，几何基础与分析基础的研究都获得了令人瞩目的成就。1874年康托创立集合论，1879年弗雷格开创现代数理逻辑，为一般意义上的数学基础研究开辟了道路。这些工作似乎意味着为数学奠基的工作很快就可以完成。希尔伯特在《数学问题》（1900）中将“康托的连续统基数问题”和“算术公理的相容性”列为他提出的23个重大问题中的第一和第二问题就体现了这样的希望。但罗素悖论（1902）的发现使人们意识到上述奠基工作遇到了严重的挑战。

20世纪早期为数学合理奠基的努力可以归结为四个不同的方案：逻辑主义、形式主义、直觉主义和公理集合论。[11]

以弗雷格、罗素为代表的逻辑主义认为数学可以还原为逻辑。按照这种观点，由于相信逻辑法则是一个真理体系，于是数学也一定是一个真理体系，因而一定是无矛盾的。

形式主义的源头可以追溯到贝克莱（Berkeley）、皮科克（Peacock）等人的工作，但真正产生重要影响的是希尔伯特（D.Hilbert，1862～1943）的方案，试图通过将各门数学形式化构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。

集合论公理化的标志性工作是由策梅罗（E.F.F.Zermelo，1871～1953）提出并由弗伦克尔（A.A.Fraenkel，1891～1965）和斯科伦（A.T.Skolem，1887～1963）完善的ZF（或ZFC）系统。

从方法论角度看，康德为哲学奠基的工作以及数学基础研究中的逻辑主义、形式主义和集合论公理化都可以看作笛卡尔、斯宾诺莎理性主义的延续，即从一组不容置疑的原始假设出发，构建哲学或数学的无矛盾系统，而在证明系统的无矛盾性时都遇到了不可克服的困难。

直觉主义的源头可以追溯到康德，其直接先驱是克罗内克（L.Kronecker，1823～1891）和庞加莱（J.H.Poincare，又译为彭加勒，1854～1912），主要代表人物是布劳威尔（L.E.J.Brouwer，1882～1966）。直觉主义者认为一个数学概念存在当且仅当它可以在直觉中通过明确的过程被构造出来。他们认为数学独立于逻辑，反对使用排中律，不承认实无穷因而也不接受康托集合论。由于反对使用排中律和不承认实无穷，经典数学中的很多重要结果都无法得到，这令大多数数学家难以接受。布劳威尔的工作与胡塞尔现象学有密切关系，下文将作简要说明。

二、从庞加莱到拉卡托斯

1．庞加莱

庞加莱对数学基础看法主要体现在两个方面，首先是明确反对康托的集合论，其次是在《科学与假设》（1902）和《最后的沉思》（1913）中较为系统和详细地阐述了约定论的观点，要点是：

（1）几何学（一般地，数学）的公理是人们约定的。

庞加莱写道：“几何学的第一批原理从何而来？它们是通过逻辑强加给我们的吗？罗巴切夫斯基（Lobachevsky）通过创立非欧几何学证明不是这样。空间是由我们的感官揭示的吗？也不是，因为我们的感官能够向我们表明的空间绝对不同于几何学家的空间。几何学来源于经验吗？进一步的讨论将向我们表明情况并非如此。因此，我们得出结论说，几何学的第一批原理只不过是约定而已；但是，这些约定不是任意的，如果迁移到另一个世界（我称为非欧世界，而且我试图想象它），那我们就会被导致采用其他约定了。”[12]“几何学的公理既非先验综合判断，亦非经验的事实。”“换句话说，几何学的公理（我不谈算术的公理）只不过是伪装的定义。”[13]“几何学研究一组规律，这些规律与我们的仪器实际服从的规律几乎没有什么不同，只是更为简单而已，这些规律并没有有效地支配任何自然界的物体，但却能够用心智把它们构想出来。在这种意义上，几何学是一种约定，是一种在我们对于简单性的爱好和不要远离我们的仪器告诉我们的知识这种愿望之间的粗略的折中方案。这种约定既定义了空间，也定义了理想仪器。”[14]

非欧几何建立后，人们发现，我们接受欧几里得几何，并非因为它是绝对真理，而仅仅在于它符合我们的直观经验，它的公理只不过是这种直观经验的体现。不仅如此，直观经验给予我们的只能是近似的和局部的结果，但欧几里得公设的表述却是绝对的和全局性的。虽然数学史的研究结果表明，欧几里得尽可能避免直接涉及无穷，但根据这些公设，必然得出空间是三维、平直和无限的结论。因此，欧几里得给出的公理和公设，既不是绝对真理，也不是严格意义上的直观经验，而是对直观经验人为加工的结果。这些直观经验本来只是近似的和局部的，但成为公理后，变为严格的和全局性的了。

（2）物理学的一些基本概念和基本原理也具有约定性质。

庞加莱写道：“在力学中，我们会得出类似的结论，我们能够看到，这门科学的原理尽管比较直接地以实验为基础，可是依然带有几何学公设的约定特征。”[15]

（3）约定是理论和经验相结合的产物。

庞加莱写道：“我们将认识到，不仅假设是必要的，而且它通常也是合理的。我们也将看到，存在着几类假设；一些是可以检验的，它们一旦被实验确证后就变成富有成效的真理；另一些不会使我们误入歧途，它们对于坚定我们的思想可能是有用的；最后，其余的只是表面看来是假设，它们可化归为伪装的定义或约定。”[16]“那么，加速度定律、力的合成法则仅仅是任意的约定吗？是的，是约定；要说是任意的，那就不对了；它们能够是约定，即使我们没有看到导致科学创造者采纳约定的实验，这些实验尽管可能是不完善的，但也足以证明约定是正当的。我们最好时时留心回想这些约定的实验根源。”[17]

《科学与假设》“第三编总的结论”进一步阐明上述观点：

“这样一来，力学原理以两种不同的姿态出现在我们的面前。一方面，它们是建立在实验基础上的原理，就几乎孤立的系统而言，它们被近似地证实了。另一方面，它们是适用于整个宇宙的公设，被认为是严格真实的。

“如果这些公设具有普遍性和明确性，而这些性质反为引出它们的实验事实所缺乏，那么，这是因为它们经过最终分析便化为约定而已，我们有权利作出约定，由于我们预先确信，实验永远也不会与之矛盾。

“然而，这种约定不是完全任意的；它并非出自我们的胡思乱想；我们之所以采纳它，是因为某些实验向我们表明它是方便的。

“这样就可以解释，实验如何能够建立力学原理，可是实验为什么不能推翻它们。”[18]

简而言之，类似于欧几里得几何的公理体系，经典力学的原理是基于经验证据概括提炼得出的，这些经验证据本身是局部的和近似的，但是力学原理将其上升为一种全局的和绝对的形式。实际上，力学原理在常规的宏观尺度和远低于光速的速度范围内确实是有效的，但是对于微观尺度和宇观尺度以及与光速具有可比性的速度直至接近光速的速度就会显现出明显的误差。在庞加莱的时代，通常意义上的物理实验还无法在这样的条件下进行，天文观测也尚未达到足够的尺度，所以他才会说实验不能推翻这些力学原理。

约定论在20世纪上半叶的科学哲学中影响深远，有多个不同的发展方向，拉卡托斯在《科学研究纲领方法论》中以相当大的篇幅对不同的约定主义做了讨论，例如，保守的约定主义，两个相互竞争的革命的约定主义学派：迪昂（P.Duhem，1861～1916）的简单主义和波普尔（K.R.Popper，1902～1994）的方法论证伪主义，革命的约定主义的另一种形式“朴素的”约定主义，以及作为约定主义退化形式的工具主义等。

2．爱因斯坦（Einstein，1879～1955）

关于数学（几何学）的性质以及几何学与物理学的关系，爱因斯坦（Albert Einstein，1879～1955）曾在多篇文章中加以论述。例如，1921年，爱因斯坦在演讲《几何学和经验》中回应了康德提出的数学是先天综合知识的观点：“只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。”[19]这里所说的“涉及实在”对应于康德所说的综合命题，“可靠的”对应于康德所说的“先天命题”，也就是说，对数学（几何学）来说，不可能同时具有综合性与先天性。

在《非欧几里得几何和物理学》（1925）中，爱因斯坦明确论述了几何公理的经验来源：“在几何体系中，只有基本概念（点、直线、截段等等）和所谓公理才是几何的经验起源的证据。人们总力求把这些逻辑上不能再简化的基本概念和公理的数目减少到最低限度。那种从模糊的经验领域里求得全部几何的意图，不知不觉地造成了错误的结论，这可以比作把古代英雄变成神。久而久之，人们就习惯于把基本概念和公理看成是‘自明的’，亦即看成是人类精神所固有的观念的对象和性质；按照这种观点，几何的基本概念同直觉的对象是相符合的，而不论以哪种方式来否定这条或那条公理，都不可能没有矛盾。”[20]这里的观点与庞加莱的观点完全一致。

1936年，爱因斯坦在《物理学与实在》中指出：“物理学形成了一套不断进化的逻辑的思维体系，其基础不能由归纳法从经验中提取，而只能通过自由创造获得。这个体系的正当性（真理内容）在于其在感觉经验基础上导出的定理的有用性，而后者与前者的关系只能被直觉地理解。”[21]换言之，物理学的逻辑基础是根据经验证据人为概括的原始假设，物理理论的正当性就在于可以从这样的原始假设中推导出足够丰富的与经验证据吻合的定理，原始假设与物理学知识体系的关系是：我们不能先验地断定这样的原始假设必然正确，只要由这些原始假设出发可以不断获得与经验事实吻合的结果而并未发生明显的矛盾，这个体系就可以继续被认为是有效的。

在《理论物理学的基础》（1940）中，他说得更为明确：“科学是这样一种努力，它把我们纷繁芜杂的感觉经验与一种逻辑上连贯一致的思想体系对应起来。在这个体系中，单个的经验与理论结构必须以如下方式取得联系：必须使所得到的对应结果是单一的，并且是令人信服的。”“感觉经验是当下的既定素材，但用来解释感觉经验的理论却是人造的。而这理论又是不辞劳苦地适应过程的结果；假设性的、用不完满的结论，更有常遇到的困难和怀疑。”[22]

从这些论断中不难看出，爱因斯坦是高度认同庞加莱观点的。

3．怀特海和爱丁顿

英国哲学家、数学家怀特海（A.N.Whitehead，1861～1947年）在《自然的概念》中有一句极富康德风格的断言：“自然是我们通过感官在感知中所观察的东西。”[23]英国天文学家、物理学家爱丁顿（A.S.Eddington，1882～1944）则在《物理科学的哲学》（1939）第二章“选择主体论”中详细和充分地论述了同样的观点。他设想有一位研究海洋生命的鱼类学家用一张网孔2英寸的渔网在海里捕鱼，然后得出两个结论：（1）任何海洋生物都不会短于2英寸；（2）所有海洋生物都有鳃。然后他写道：“应用这个类比，打捞活动可代表构成物理科学的一组知识，渔网可代表我们用来获得这类知识的感觉器官和理智器官。抛撒渔网对应于观察；观察没有获得的或者不能获得的知识不允许进入物理科学之中。”[24]这一章的基本观点是：随着研究活动的持续和扩展，我们有可能纠正过去的狭隘乃至错误的认识，但无法对超出我们的感觉器官和理智器官能力的事物获得令人信服的结论。

4．从弗雷格到哥德尔

17世纪，莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646～1716）指出，哲学论辩中各执一词莫衷一是的状况，主要是因为缺少一种明确、有效而无歧义的表达和推理方式，因而提出了数理逻辑的基本构想。1879年，弗雷格（F.L.G.Frege，1848～1925）发表《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》，较为充分地实现了莱布尼茨的构想，其主旨是：构造一种形式语言，将数学奠定在严格的基础上；构造一种形式语言，将哲学奠定在严格的基础上。现代意义上的数理逻辑以及哲学中的语言转向由此开端。

1921年，维特根斯坦（L.J.J.Wittgenstein，1889～1951）在《逻辑哲学论》中试图建立一种可以根据逻辑句法规则确立的表达方式，认为能够用这种表达方式表达的命题都是可以表达的，反之则是不可表达的。他在该书前言中写道：“这本书的全部意义可以用一句话概括：凡是可以说的东西都可以说得清楚；对于不能谈论的东西必须保持沉默。”[25]在书中维特根斯坦首次提出，“关于哲学问题所写的大多数命题和问题，不是假的而是无意义的”，“一些最深刻的问题实际上却根本不是问题。”[26]随后，1923年，卡尔纳普（P.R.Carnap，1891～1970）在《通过语言的逻辑分析清除形而上学》一文中明确提出：“现代逻辑的发展，已经使我们有可能对形而上学的有效性和合理性问题提出新的、更明确的回答。……在形而上学领域里，包括全部价值哲学和规范理论，逻辑分析得出反面结论：这个领域里的全部断言陈述全都是无意义的。”[27]

维特根斯坦和卡尔纳普的工作是哲学中放弃终极意义上的逻辑奠基的宣言，可以看作哥德尔的工作在哲学中的先声。

1931年，哥德尔（Kurt Gödel，1906～1978）发表不完全性定理：（1）一个包括初等数论的形式系统P，如果是相容的，那么就是不完全的。（2）如果这样的系统是相容的，那么其相容性在本系统中不可证明。

哥德尔的结果宣告了希尔伯特方案的失败，在数学中它意味着：一个数学理论体系，只要其内容丰富到包含了初等数论，以公理化方法为其奠基的努力就一定失败。容易看到，这个结果具有一般性，也就是说，对人类思想的任何一个具有足够丰富内容的理论体系，一切试图用逻辑方法证明其理论基础合法性的努力都不可能得到最终结果。

5．波普尔

1934年，波普尔（K.R.Popper，1902～1994）在《研究的逻辑》（德文初版，1934；英译本《科学发现的逻辑》，1959）中提出了批判理性主义观点；1963年，他在《猜想与反驳：科学知识的增长》中发展批判理性主义观点，建立了证伪主义，其基本观点是“真伪不对称性”（真不能被证明，只有伪可以被证明）。这种真伪不对称性，在逻辑上等价于哥德尔不完全性定理的结果，一个包含了初等数论作为子系统的形式系统，如果有一天被发现包含了一个悖论，那么它就是不相容的；如果一直没有发现悖论，我们却不能判断这个系统是真的没有悖论，还是我们仅仅是暂时没有发现悖论而已，也就是说，相容性是不可证明的。

波普尔在《猜想与反驳：科学知识的增长》序言中指出：“知识，特别是我们的科学知识，是通过未经证明的（和不可证明的）预言，通过猜测，通过对我们问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。这些猜想受批判的控制；就是说，由包括严格批判检验在内的尝试的反驳来控制。猜想可能经受住这些检验而幸存；但它们决不可能得到肯定的证明：既不能确证它们确实为真，甚至也不能确证它们是‘或然的’（在概率演算的意义上）。对我们猜想的批判极为重要：通过指出我们的错误，使我们理解我们正试图解决的那个问题的困难。就这样我们越来越熟悉我们的问题，并可能提出越来越成熟的解决：对一个理论的反驳——即对问题的任何认真的尝试性解决的反驳——始终是使我们接近真理的前进的一步。正是这样我们能够从我们的错误中学习。”[28]“既然没有一个理论能肯定地得到证明，所以实质上是它们的批判性和不断进步性——对它们声称比各个竞争的理论更好地解决我们的问题我们可进行辩论这个事实——构成了科学的合理性。”[29]

波普尔证伪主义在实践层面上存在局限性，因为观察陈述依赖于理论并且是易谬的，所以以为只要有了这样的观察陈述就可以证伪一个理论是轻率的。但是如果将这一思路用于以公理化方法构建的理论体系，情况就会完全不同。

6．拉卡托斯

哥德尔的工作表明，无论是形式主义、逻辑主义还是集合论公理化，都不足以从根本上证明数学基础的相容性，进一步的推论是，任何使用古典逻辑（形式逻辑）的数学公理体系，都无法从系统内部证明这个系统的相容性，从而宣告了公理化方法的本质局限性，即：它不可能从根本上解决数学理论体系的相容性问题。

既作为对哥德尔工作的回应，也作为波普尔工作的发展，拉卡托斯（Imre Lakatos，1922～1974）在《无穷回溯与数学基础》（1962）、《经验主义在近期数理哲学中的复兴》（1965）中提出了“数学是拟经验的”的观点。拉卡托斯将构建数学理论体系的基本模式概括为“欧几里得式理论”与“经验论理论”两类。

拉卡托斯在《无穷回溯与数学基础》一文中写道：

“（1）如果演绎系统顶部的一些命题（公理）是由完全众所周知的一些词（原始词项）组成的，并且于真值的顶部存在确实可靠的真值注入，这个真值通过真值传递（证明）的演绎渠道向下流满整个系统，那么我就把这种演绎系统叫做‘欧几里得式理论’。（如果顶部的真假值为假值，这个系统自然就不可能存在真值流。）”

“（2）我把一个演绎系统叫做‘经验论理论’，如果该系统底部的一些命题（基本语句）是由完全众所周知的一些词（以经验为根据的一些词）组成的，并且底部可能存在确实可靠的真值注入，只要底部的真假值为假值，它就通过演绎渠道（说明）向上流满整个系统。（如果真假值是真值，这个系统自然就不存在真假值流。）因此，经验主义的理论要么是猜测性的（除了最底部的语句可能是真的以外），要么就是确定地由假命题组成的。”[30]

容易证明，我们确实可以构建一些结构简单的欧几里得式理论，但是，根据哥德尔不完全性定理，任何包含了初等数论作为子系统的形式化数学公理系统，其相容性在系统内部不可证明，也就是说，我们无法证明这样的演绎系统是一个欧几里得式理论。因此，通常的演绎数学理论都只能是经验论理论，这样的演绎系统的相容性无法预先判断，但具有可证伪性，在方法论意义上与通常的自然科学理论是一致的。

7．物理学和宇宙学的新启示

现代科学曾经长期坚持这样的理念：宇宙是有规律的，这些规律是可以被人类认识的，因为人类的认识能力是不断提高而且没有上限的。另一方面，康德、怀特海、爱丁顿以及其他哲学家、科学家一再强调：人类对客观世界的认识，受限于人类感知世界的能力。即使这种能力随人类社会特别是科学技术的发展而不断增强，但仍可能存在某个无法跨越的界限。由于20世纪末以来物理学、天文学和宇宙学的发现，当今科学界已经接近于达成这样的共识：普通物质和能量在宇宙总的物质和能量中所占的比例大约为5%（甚至不足5%），其余95%的物质和能量为暗物质和暗能量，人类对它们无法感知。这意味着，人类或许根本没有可能对宇宙的实际面貌和根本规律作出既合乎理性标准又接近真实情况的描述。自然展现在我们面前的只是表象，科学也只是基于表象的合理推断，所谓合理也只是合乎表象之理，但在表象和本质之间的鸿沟，可能永远无法跨越。

构成当代科学的最初的基本原理实际上是假说，而这些假说（至少是其中的绝大部分）永远都无法真正获得确证，即使某些假说基于某些更基本的原理获得了解释，那些更基本的原理如何得以确立又会成为新的问题，这与数学基础问题是十分类似的。此外，对于“宇宙的结构和性质”、“生命的本质”这样的重大问题可能同样永远都不会有最终的答案。于是，相对于牛顿时代视科学为客观真理的科学观，在后现代，科学更被看作是一套合乎理性的、与其他方法相比更为有效的探索自然现象及其规律、原理的方法，以及由这种方法所获得的、基于经验证据和逻辑推理的、至今尚未被证伪的知识所构成的系统。科学求真，但这种真永远是被人类的认识能力所限定的真，与自然界客观的真并不相同，甚至可能相去甚远。

对科学而言，可能存在终极理论，但不存在终极真理。例如2010年，霍金和蒙洛迪诺在他们合著的《大设计》中介绍了自20世纪90年代以来在物理学界和天文学界引起高度关注的M理论，书中写道：“在科学史上，从柏拉图到牛顿的经典理论，再到现代量子理论，我们发现了越来越好的理论和模型序列。人们很自然地询问：这个序列最后会终结于一个将包括所有的力并能预言所有对宇宙观测的终极理论吗？或者我们将永远寻求越来越好的理论，但永远找不到不能再改善的那个？我们对这个问题尚无确定答案。但是如果确实存在一个的话，我们现在拥有了一个称作M理论的万物终极理论的候选者。”[31]问题在于，即使人们最终发现M理论确实是一个完美的理论，但是它的最终基础很可能仍然无法被证明，从而它只能是基于假说的一个理论，却不是终极真理。类似地，在人类文化的其他领域，也不会获得终极真理。人类对一些基本而重要的领域不断探索，也不断有所发现，但一定存在某些难以逾越的鸿沟，它们揭示出人类认识的边界。

三、方法论层面的思考

1．一般性的回顾

数学、科学和哲学的共同特性是求真，从本质上看，这种求真的过程在经历了存在论（本体论）、认识论转向和语言转向三个阶段之后，以哥德尔不完全性定理作为一个转折点已经进入了一个新的时期。

在存在论阶段，先哲们依据各自的直觉并且常常借助归纳方法对构成客观世界的基本元素、客观世界的形态、结构和运动变化规律作出断言。

当人们发现所有曾经作出的推断都难以给出令人信服的理由的时候，转而思考“我们是怎样研究上述问题的”、“这样的研究有没有可能得到确实的结果”，进而尝试由精选的、被认为不证自明的原始假设出发严格推出哲学命题从而重建整个哲学大厦，这就是哲学中的认识论转向，对应于数学中欧几里得构建数学体系的公理化方法。

当人们发现关于认识论的研究必定陷入“我们能否清楚地表达我们的问题和思考结果”、“这样的表达应该遵循什么规范”、“这样的表达最终能不能确保我们的思维过程是合理的”这些难题、并尝试通过建立某种人工语言解决上述难题的时候，就发生了语言转向。在数学中，这一过程经历了两个阶段：第一阶段是双曲几何、椭圆几何的建立导致的几何基础重建，包括欧几里得几何在内的几种几何学都需要以明确而严格的方式奠基，特别是欧几里得几何失去了不证自明的当然地位。与此大体同步的是分析基础的奠定。第二阶段是由于集合论和数理逻辑的建立，从而可以尝试在最一般的意义上为全部数学奠基，随后发现的集合论悖论使这项工作变得十分迫切。本文讨论的就是由此开始的一系列工作和与之相关的一些重要观点。

从历史上看，数学、物理学和哲学中的绝大多数发现都是借助归纳方法获得的，17世纪哲学中的经验主义也曾试图运用归纳方法梳理知识体系，但人们终于认识到对于构建严密的理论体系归纳方法是无法胜任的。在语言转向之后的奠基工作中，哲学领域较为突出的是分析哲学与现象学两个主要思路，数学中的逻辑主义、形式主义和公理集合论三个路径与分析哲学的路径相似，直觉主义与现象学有密切关系。

另一个值得注意的事实是，自亚里士多德以来，数学长期被认为是物理学的映像，特别是欧几里得几何被认为是现实空间的真实写照。但是，19世纪20年代以后，由于双曲几何和两种椭圆几何相继建立，它们与欧几里得几何互不相容却在逻辑上无懈可击，于是究竟哪种几何学可以用于描述物理空间就成了问题。随着更为抽象的几何对象的不断出现，以及群论、集合论、实变函数论、泛函分析、抽象代数等高度抽象的数学分支的建立，数学不再简单直接地对应于客观世界的事物，在数学家群体中逐渐形成了“数学是人类思维的自由创造物，只受逻辑约束而不受现实事物约束”的观念，数学与物理学乃至自然科学被认为具有根本不同的性质。

无论是分析哲学还是逻辑主义、形式主义、公理集合论，基本路径都是由演绎方法衍生出的公理化方法，其水平已经远高于欧几里得和笛卡尔的时代。并且以数理逻辑为共同工具。即便如此，分析哲学最初的方案到20世纪20年代已经难以继续推进，数学奠基先是由于集合论悖论和连续统假设而受阻，最终因哥德尔不完全性定理的建立而受到沉重打击。

2．现象学方法

在分析哲学的奠基方案逐步退隐之后，以胡塞尔（E. G. A. Husserl，1859～1938）为主要代表的现象学方法迅速获得关注。胡塞尔的现象学，其核心问题是对象在意识中的构造问题，着眼于对现象的把握，其特征是当下、有限，将现象与本质结合起来，透过现象看本质，通过当下、有限来把握永恒、无限。其本质是：基于经验和已有知识的具有全知视角的思想实验（理想实验）获得对事物的洞见，从而构建理论体系（首先是哲学体系）的最初的阶梯，进而构建全部理论体系。从某种意义上说，现象学是经验主义的变种，只不过由经验主义的现实经验变成了思想中的经验。这种思想实验基于现实经验而又超越了现实经验，这种超越表现在：现实中的观察次数十分有限，思想实验可以把这种观察置于想象中而令其具有足够大的数量；由于现实条件的限制，例如物理条件难以实现，或成本、危险等因素导致现实中的观察难以实施，思想实验可以越过这些障碍；全息性：任何直接观察都只能是当下的和片面的，而现象学对现象的研究要求调动可能的全部信息，把当下的观察与历史知识联系起来，把局部的观察与关于全局的信息联系起来。通常的观察本质上是分析，而现象学的观察在分析的同时还在综合。简而言之，现象学方法是对经验和已有知识的全面的、综合的、结合历史与当下的重新审视。

由于上述特征和优势，现象学方法在哲学、伦理学、心理学、社会学等人文社会学科获得了较为广泛的应用，对逻辑学、时间问题的讨论也颇有成效。另一方面，现象学方法也有一些较为明显的缺陷。例如：

首先，现象学通过思想实验构造对象的过程所依据的仍然是人类的经验，只不过将这种经验适用的对象由现实中转移到了思想中。既然如此，它们无法应用于人类经验之外的对象。例如，由于人类至今不能俘获夸克，不能直接运用物理手段对夸克进行操作，因此对处在夸克层次上的物理对象及过程的思考，现象学方法是无能为力的。类似地，对宇观尺度上的很多问题，由于超出了人类目前的物理手段，现象学方法同样是无能为力的。

其次，现象学借助移情作用设想进入另一意识、心灵或精神（包括动物）的第一人称的、经验性的生活。这一过程大概只有在实施者不仅熟悉对方而且至少具有平等面对的能力和心理的时候才有可能，而在一般情况下未必有这样的条件。设想一个从未学过外语也未到过国外的中国人面对一个从未学过中文的外国人，或者设想一个初学围棋的人面对围棋国手。

因此，现象学方法的主要作用是，对已经由人类经验把握的事物，通过思想实验为其确定可为人类理性所接受的逻辑过程与结构，是一种事后整理的方法，而不是作出发现的方法。又由于它对无穷、微观和宇观层面的问题无能为力，从而不可能为人类的各种理论体系提供终极的基础。

值得注意的是现象学与直觉主义数学的关系。王炳文、张金言在施皮格伯格《现象学运动》译者序中写道：“胡塞尔认为严格科学的哲学，应该是由理性联结起来的知识体系，其中每一个步骤都是按照必然顺序建立在先前步骤之上的。这种严格的联结要求在其基本洞察方面达到最大的清晰性，而在基本洞察之上建立起进一步陈述时，要依照有条不紊的顺序进行。这就是哲学要成为真正科学所应该遵循的严格性，而只有现象学能满足这种严格性。”[32]这里的描述与直觉主义数学本质上一致。根据海德格尔《时间概念史导论》中的说法，布劳威尔（L. E. J. Brouwer，1882～1966）直觉主义数学的基本思想受到了胡塞尔现象学的影响：“在数学中存在着一种形式主义与直觉主义的争论。在此争论中人们所追问的是：数学科学的基础是否就奠定在形式命题之上？简单地讲，上面的表述是说：从形式命题出发，作为公理系统的其余全部命题能够被演绎出来——这就是希尔伯特的立场。而与此相反的、主要受到了现象学影响的立场，则提出了如下问题：在最终的意义上，那最初既有的东西是否就是各种对象的特定的结构本身（在几何学中，连续统就先于例如微分分析和积分分析中的科学的探询），如布劳威尔和魏尔的学说所宣称的那样？”[33]

另一方面，直觉主义明确地以康德和克罗内克（Leopold Kronecker，1823～1891）为先驱。布劳威尔在《直觉主义和形式主义》（1912）一文中指出，“对康德理论的最严重的打击是非欧几何的发现”[34]，然后他写道：“不管直觉主义在这一时期的数学发展之后的地位看来是怎样地软弱，通过放弃康德的空间的先天性，同时更坚定地坚持时间的先天性，它已经得到了恢复。这种新直觉主义把生命的时时刻刻之碎裂为——恰恰在一直被时间分隔的情况下被统一起来的——异质部分（qualitatively different parts），视为人类心智的根本现象，[MOU4] 把它们从情感内容中抽出来而变成数学思维的根本现象——即赤裸裸的二·一原则（two-oneness）直觉。这种二·一原则直觉，即数学的基本直觉，不仅创造了数1和2，而且也创造了一切有限序数，因为二·一原则的元素之一可以被认为是一个新的二·一原则，这个过程可以无限地重复下去；这一过程还进一步给出了最小的无限序数𝜔。”[35]这里所说的二·一原则直觉，就是从1到扩展到2，从n扩展到n+1的能力，由此可生成全部自然数。

由于坚持构造性原则，不允许使用排中律，不接受实无穷，使得直觉主义数学成为最严格也最苛刻的数学，有效地排除了出现悖论的可能性，但也因此而舍弃了经典数学中的许多重要内容，这使得大多数数学家难以接受他们的立场。

3．返璞归真

19世纪80年代以来，为数学、物理学（科学）和哲学理论奠基的工作已经尝试了多个路径，哥德尔定理宣告了传统意义上的公理化方法不能完成这个任务，现象学方法同样难以胜任。通过上面的讨论，我们获得了这样的启发：以往的奠基方案之所以无法完成，是因为它们的目标是要构建一个拉卡托斯所说的欧几里得式理论，而这样的目标本来就是不可能实现的。庞加莱的约定论、波普尔的证伪主义以及拉卡托斯拟经验数学观，可以概括为两个要点：

第一，数学理论的结构及其构建方法与物理学理论的结构及其构建方法并无本质的不同。

第二，不存在完美构建的欧几里得式数学理论和物理学理论。一切内容足够丰富的数学理论和物理学理论都只能在不断探索、证伪和修正的过程中逐步完善，人类探索真理的过程永远都不会完结。

实际上，从古至今，数学和物理学本来就是以这样的方式不断进步的。

参考文献

[1]欧几里得，《几何原本》，兰纪正、朱恩宽译，南京：译林出版社，2011，第2页。

[2]伊萨克·牛顿，《自然哲学之数学原理》，王克迪译，西安：陕西人民出版社，武汉：武汉出版社，2001，第18～19页。

[3]詹姆斯·E·麦克莱伦第三、哈罗德·多恩，《世界史上的科学技术》，王鸣阳译，上海：上海科技教育出版社，2003，第405～406页。

[4]康德，《纯粹理性批判》，邓晓芒译，北京：人民出版社，2004，第2～3页。

[5]同上，第3页。

[6]同上，第11～14页。

[7]同上，第14页。

[8]同上，第15页。

[9]同上，第17页。

[10]同上，第55页。

[11] M.克莱因，《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，长沙：湖南科学技术出版社，2002，第216～262页。

[12]彭加勒，《科学的价值》，李醒民译，北京：光明日报出版社，1988，第5页。

[13]同上，第43页。

[14]彭加勒，《最后的沉思》，李醒民译，北京：商务印书馆，2007，第22页。

[15]彭加勒，《科学的价值》，李醒民译，北京：光明日报出版社，1988，第5页。

[16]同上，第3～4页。

[17]同上，第87页。

[18]同上，第105页。

[19]爱因斯坦，《爱因斯坦文集》（第一卷），许良英、范岱年译，北京：商务印书馆，1976，第136页。

[20]同上，第205页。

[21]爱因斯坦，《爱因斯坦晚年文集》，方在庆等译，北京：北京大学出版社，2008，第77页。

[22]同上，第79页。

[23] A.N.怀特海，《自然的概念》，张桂权译，北京：中国城市出版社，2001，第3页。

[24]阿瑟·爱丁顿，《物理科学的哲学》，杨富斌、鲁勤译，北京：商务印书馆，2016，第19页。

[25]维特根斯坦，《逻辑哲学论》，贺绍甲译，北京：商务印书馆，1996，第23页。

[26]同上，第41～42页。

[27]陈波、韩林合主编，《逻辑与语言——分析哲学经典文选》，北京：东方出版社，2005，第249页。

[28]卡尔·波普尔，《猜想与反驳——科学知识的增长》，傅季重等译，上海：上海译文出版社，1986，第1页。

[29]同上，第2页。

[30]拉卡托斯，《数学、科学和认识论》，林夏水等译，北京：商务印书馆，1993，第4～5页。

[31]霍金、蒙洛迪诺，《大设计》，吴忠超译，长沙：湖南科学技术出版社，2011，第5页。

[32]施皮格伯格，《现象学运动》，王炳文、张金言译，北京：商务印书馆，1995，第iv页。

[33]海德格尔，《时间概念史导论》，欧东明译，北京：商务印书馆，2009，第4页。

[34]保罗·贝纳塞拉夫、希拉里·普特南编，《数学哲学》，朱水林等译，北京：商务印书馆，2003，第92页。

[35]同上，第92～93页。

作者相关视频返回搜狐，查看更多