“对称”及其数学教育意义

“对称”及其数学教育意义 方运加

        本文是作者为《中小学数学（小学版）》2012年第9期撰写的编者语

        “对称”（Symmetry），一个广为人知、应用广泛的词，其表意之丰富、之深遽，堪与物质、存在、规律等词同列上位；其在哲学、数学、人文社会科学、自然科学、社会生活及生产等各领域均有种类或数量难以穷举的表述；甚至因由年龄不同、经历不同、目的不同、观念不同，对“对称”的认识或看法也会有不同；对称观点、对称关系、对称方法，对称结构，……难以尽数，现实中更是充满了对称现象。         “对称”如苍天，没有哪个领域或学科能脱离苍天俯视，任何学问都以诠释本门立论所离不开的对称思想为要务。以至，上世纪70年代，毛主席在接见美籍物理学家、诺贝尔奖获得者李政道博士时，首先疑问道：“为什么对称是重要的？”         对称性已被清楚地证明是描述自然界的有效工具，我们所学的知识都以各种各样的对称性为基础，对称系统在数学中更易于描述，自然界的奥密用数学语言写就，进入现实王国的密码就是“对称”。         一、 “镜像对称”——人人熟知的“对称”         面对如此不寻常的词,俺不禁想问：啥是对称？有易于俺们理解的、公认的“对称”表述吗？还真有！这个表述方法是大家在上小学时从算术、语文、音乐、美术等课程中获得的；是以实物、图形或画面为直观背景的；是人人都可意会，但不易用话语把它概括出来的；一般通过描述对称事实予以说明，属就事论事式的表述。例如，具有左右对称显著特征的动物、建筑物、家具或用品就是常用于启蒙认识对称形象的实物。         小学一年级学生还不能够独立概括这类现象或事实，仅处于“认得”或“识得”的水平，认为“对称”就是这样子的，尚无意触及对称的本质。         小学二年级数学课本对“对称”的解释为“将一个图形对折以后，两边的图形完全重合”，对折产生的折痕叫做“对称轴”。这个解释较狭隘，但易理解、好掌握。教师在使学生认识对称的过程中，一般辅以“折、画、剪”等操作活动，使学生认识到：对称图形两边对折后，折线两边能够完全重合在一起。         将“左右相同”归结为“左右重合”，或反之，这种“认得对称”的水平是普遍的，大多数人对“对称”的认知一辈子都维持在这一水平。许多人在中学或大学学过几何学之后，对“对称”的认知也基本处于“左右全等”、“对折重合”的水平，并且习惯于借助直观手段的辅助。但是，假如把呈“左右对称”的画面竖放或斜放，或者把一座呈轴对称形状的物品竖立或斜置，再提问是否对称时，习惯于“对称”的左右水平呈现形态的多数人会因有悖习惯而不能马上做答。这就是人们面对各种对称现象时的最朴素、最直接的反应。         实际上，对“对称”的认识最早是从幼儿园或父母那里开始的，左右手、左右脚、左右腿、左边和右边等概念是幼儿阶段形成的经验性或习惯性认识，这是对“对称”的幼儿期认识。待到读小学时，则进一步学习了左右概念及其应用，这时，学生自己的左右手起到了关键性的位置参照作用。值得注意的是，与人体有关的前后对称性也是常用的，但却经常被忽略，教师与家长均未注意提炼出“左右”和“前后”是地位相等的对称现象。“对称”概念的形成初期就是这样的。         被忽视的“对称”现象还挺多，以“观察者视角”为例，观察者若从某个角度观察某物是不对称的，还不能马上下“不对称”的结论，要多换些角度观察再说。现实生活中常用的自行车、汽车从侧面看显然不对称，但从正面看则显现出对称性。这仅仅是看得到的对称性，还有看不到的对称性，例如汽车的动平衡性，需要仪器测试才能得到确认。这说明观察方法是多样的，不仅是用眼。现在的数学课经常要求学生学会观察，但教师很少注意讲授观察方法，作为观察方法之一的“观察者视角”是很常用的数学方法，也是观察能力的集中体现，可以作为重要的数学教学内容讲授给学生。现在小学阶段数学课程安排了“三视图”内容，其意义如何，尚待确证，但若通过“三视图”来教学“观察者视角”，并进一步提炼出观察方法，这就是极有意义的事啦。         二、“对称”与数学教学         如何从理性上、用数学方法去精准把握“对称”这个一直在发展着的概念（几百年来，数学、物理学、化学经常产出与“对称”相关的重大进展或发现），使之在人的智慧或思维水平的提高上产出显著效益，这值得中小学数学教师认真研究。笔者曾经撰文强调，有三个重要的概念及相关的思想、方法是贯穿于数学科学的，是从小学一年级一直到上大学、读研究生、做科研都离不开的，这就是“对称、对应、比”。这是三个相互之间有多层次联系的最重要的数学思想，三个在数学发展历程中不断发生交互作用的，你中有我、我中有你的数学方法，在他们身上体现出无可限量的力量，是应该在数学教学中经常渗透的，绝非可有可无。同时，如果教师能够从小学算术中挖掘出对称、对应、比的思想方法，这无疑会提高小学数学的育人价值。做到这一点并不难，只须教师对其有基本认识，知识上有一些储备；教学中不刻意增加课时和作业，却能发挥四两拨千斤之效。这方面的教学行为可透射出教师对数学的认识以及专业能力。小学阶段，算术在解释和运用对称意义上有许多便利性，植树问题、找规律、鸡兔同笼、数字谜、九宫格都是运用对称思想或方法的现成问题。         从教学角度研究数学定义不是“咬文嚼字”，而是从中提取思想和方法的营养或力量，能做到这一点除需要些数学功夫外，也需要教师对整个数学中的少数核心思想或方法有基本的、清晰的认识，当然，还要有深度的教学思考，这样才能从数学中挖掘出积极的思想和力量，惟如此才能教给学生活的知识、聪慧的知识，才能从数学宝库中提取真正的、高效的营养以哺育学生。         三、“对称”是一种变换         中小学数学教师应该如何认识对称呢？下述说法是适当的：对称不是数字，也不是形状，而是一种特殊的变换（transformation），一种移动物体的方式。换言之，若一个物体在经过变换之后看起来与之前相同，那这个变换就是对称。简言之，对称是个变换，这个变换的功能是“保持不变”。         如果忘了中学或大学所学，对“变换”一词的数学含义记不清了，没关系！换成“操作”这个词也行，“变换”就是“操作”。如果对“物体”这个词也感到困惑，认为有设限之俗，有悖“君子不器”，那干脆把“物体”这个词也省掉，于是就有了“对称”的一个简化版表述：“对称就是操作后不变”。         问题又来了，谁是操作者？这么问导致的麻烦是有可能列举不尽操作者，那还不如不问，多一事不如少一事是数学研究者的工作风格。不提并不意味着不存在，反正数学家兼哲学家罗素（Bertand  Russell）曾经说过：数学可以界定为不知道在说什么，也不知道说得对不对的学科。这个深不见底的名言透露出数学其实并不喜欢把什么都搞清楚说明白，数学是“难得糊涂”的典范，数学之如此反而给自己留下了巨大的话语空间。这里，数学之聪明表现为：既然不提这个事于大局无碍，那就不提为好。待碰到具体问题需要搞清楚操作者是谁的时候，再说！譬如看到有蜜蜂进出的窝是如图1所示的六角形对称结构，若问谁建的，谁是操作者，答案自然是蜜蜂，是它们构造了蜂巢（图1表达的是蜂巢六角形窝洞底部封口的结构）。瑞士数学家克尼格曾经计算过，若要消耗最少的材料来制成最大的菱形容器，其六角形的钝角角度应该是109o26′，这比法国人马拉尔第测得的蜂巢六角形的钝角角度109o28′要少2分。但之后苏格兰数学家马克劳林重新计算证实了：蜜蜂是对的，克尼格的计算是错的。蜂巢是精密的对称性建筑，精明的蜜蜂们为了用最少的材料来制成最大的菱形容器而自然选择了精准的角度，并做到了一分不差。伟大的操作者——蜜蜂！

    科学家发现，蜂巢的一头是正六边形，另一头被3个相同的菱形密封住。17世纪，法国天文学家马拉尔第测出蜂巢菱形的纯角是109o28′，锐角是70o32′。18世纪，瑞士数学家克尼格算出用最少的材料做出最大的菱形容器，钝角应为109o26′、锐角应为70o34′。苏格兰著名数学家马克劳林（1698-1746）重新计算得到的结果是109o28′和70o31′44″。克尼格之错缘于他用的数学用表印错了。

                               图1         守恒与永恒同义，是自然科学致力于揭示的自然规律。据说公认的守恒律共有12个，力越强，其交互作用越受守恒律限制。强相互作用力交互作用受所有12个守恒律的限制，电磁力交互作用受11个守恒律的限制，弱相互作用力交互作用受8个守恒律的限制。引力受哪些守恒律的制约，至今还处在探索中。这些守恒定律中，大家最熟悉的莫过于质量守恒定律和能量守恒定律。爱因斯坦说“能量拥有质量，质量就是能量”，口说无凭，他还给出了这个说法的数学表达E＝mc2。人类与地球、太阳、银河系共处于时空中，受时空规律左右，而时空守恒定律揭示的是万物生成和运行的规律，不变或永恒是“对称”的本质，所以人们把守恒律也称为对称律。如果一定要问时空对称的操作者是谁，人类拟就的答案有很多，甚至宗教信仰都有可能在其中发挥影响，于是，对时空的解释也存在远离规律或事实的可能。         前面提到小学生或者大多数人对“对称”的理解是基于特定形状的，是某些规则形状使然。而变换意义下的对称说的是：如果某物形状被旋转后没有发生形变，与原形状无异，则称旋转前后的两个形状是旋转对称。仔细想想，这太令人吃惊了，“对称”竟是这样的普遍存在，一个东西挪个窝、转个圈，只要不因此有毫发之损之变，就相当于进行了一次对称变换。                                这个网格半球体建筑可以表达多种含义的对称形状。                               图2         例如图2，这个网格半球上的三角形们是全等的，可以看作是一个三角形在球面上运动的结果。虽然这个网格球体不是严格意义上的球，但这岂不是说平面上凡具有全等性质的图形，或空间中凡具有全等关系的实体，本质上是一个图形、一个实体位移的结果？是这样的！全等意义下的图形只有一个，这是对称的意义之一。这方面最典型的、也为学生最熟悉的对称形象是圆，圆是完美对称的典范，其数学表达也极其简单。公元前580年，希腊哲学家阿那克西曼德（Anaximander）因所有形状中最对称的是圆形而给出了第一个宇宙模型，自此圆形统治天文学一直到1609年，这年开普勒证明了火星运行轨道是椭圆。圆，无论怎样转动她，都不会变形，都看不出转与不转的区别。但令人困惑的是，并非看着完全相同的事物，或者说是左右对称的事物，经过旋转和平移，他们就可以重合。如图3，若为飞机机身画一个左机翼，再对称画一个右机翼，不难发现：只要不脱离纸面无论怎样平移或旋转，左机翼都无法与右机翼重合，除非左右机翼翼型是经过平移或旋转能够重合的特殊形状，例如矩形、等腰三角形、等腰梯形等。

                                若不翻折，在平面上你无法使左机翼与右机翼重合。这其中暗含着一个事实。二维平面上无法办到的事，在三维空间中可以办到。譬如使左右机翼重合                                  图3         于是镜像对称（亦称“反射对称”）概念就成为必要的了。我们可以通过空间翻折（翻筋头）来达到左右重合，来说明左右机翼是镜像对称的。有意思的是，人们比较认可镜像对称图形的对称性，而对于更具普遍性的平移对称现象，反而往往忽略其对称属性，例如图4所表达的平移对称。典型的实例是工厂流水线末端的产成品，它们就是平移对称的。批量生产产品的思想本质上是对称概念的实际应用。另外，假如你试图用重合法来证明自己的左右手是对称的，不妨想想能否做到，若不能做到，能琢磨出一个解决方案来也是不错的！

                                             图4         四、“对称”的基本要素         前面说到用数学方法描述对称系统有极大地便利性，那么，“对称”的要素有哪些呢？数学工作者认为：任何领域、任何学科的关于“对称”意义的表述必须具备变换（transformation）、结构（structure）、保持(preserve）等要素。由这三个要素构成的对称意义不再是对某种规则的模糊印象或是对对称美的艺术感觉了，而是变成了具有严格逻辑定义的明确的数学观念了。这时，我们可以将“对称”作为运算对象并进行运算，当然，也能够证明关于对称的定理（从大学数学系课程“群论”中可以学到），更有机会打开探索自然界奥秘的大门。         “对称就是左右相同”的观念使得一些小学生在画天安门城楼时，将左右两排迎风展开的红旗画成左面向左、右面向右展开，这个小小的谬误遵循的是严格的镜像对称，反映出左右相同的影响还是很大的。这个认识符合小学生的思维水平，他们认为红旗应该画成向两边飘扬才是严格的对称形式。小学阶段形成的对一个事物的认识可以长期处于某种水平，几乎无任何改变。前面曾提到许多成年人对“对称”的认识维持在小学生水平，客观说，这个认识水平是一个好基础，只须稍微有意识的予以扩展，就能得到较大提升。         教师在小学生前述认识基础上，让他们明确说出“对称”就是左和右相同，然后让他们学着说理，学着口述左右对称的道理。对一个小学生来说，这相当于科学启蒙的里程碑。这个阶段的教师还可以告诉学生，仅仅看上去“相同”还不够，要能够说明或证明是相同的，才能够确认“对称”性，而这是有难度的，需要观察、动手操作和思考。对小学生来说，发现“对称”的存在实在是非常普通的事，例如，大量的植物都具有左右对称的特征。松树，细看、近看难以体会到形状上的对称，但远看，却似等腰三角形般的对称，这就是小学阶段学生画松树时最常采用的形状。         当学生具有了讲左右对称道理的意识后，在这个基础上，可以认识更具一般性的“对称”事物。         五、“等号”与“对称”         小学一年级最重要且最常用的对称概念是“＝”号，用等号连接的左右相等关系是超越直观性对称的第一步，这不同于形的对称，意味着有关对称的表述用到了计算。递等计算过程中的算式变形是等值变换，目的是保持对称，这是更具本质性的对称，属于较抽象的对称关系。“＝”蕴含着最重要的对称性质，可分解为：反身性、对称性、传递性。想说明“相等”有时不是一件“轻松”的事。为了省时、省力，人们努力揭示最少受限的算术运算律，利用等号揭示加乘运算的对称规律。         等号最先用在对自然数的算术运算上。自然数的生成遵循的也是对称规律，对称的基础首先是“自然数关于等式是封闭的”，即假如a是自然数，且a＝b，则b是自然数；然后是自然数的开端“0”。如果自然数只包含“0”，仅仅是一个孤立的存在，那就没有任何意义，就是一个在实践中用不上的概念，当他与其他数建立了某种内在的具有生成和依存意义的联系时，“0”就有了意义，这个联系的承担者就是“1”。人要创造用得上的、具有普适价值的概念，就不能止步于“0”。于是在0之后，通过持续的“加1”动作生成了1，2，3，……，以备不时之需。如果对每一个自然数都予以定义，费时费力不说，且永无出头之日，根本定义不完。人不能把自己难死，需要制定一个自然数的产出规则，这个规则首先要解决紧挨着0的那个数是谁，紧挨的含义是由“0”到紧邻数之间不会有其他的数。如果这个原则确定了，就相当于确定了一个生成所有自然数的办法，因为有了“0”和之后那个数的关系原则，只须不断重复这个原则就可以生成被称之为自然数的任何数。20世纪初，意大利数学家皮亚诺（G·Peano,1858－1932）审时度势制定了自然数的公理化定义。在这个定义里，“0”可以被看做是自然数的首元素，又说所有的自然数都有紧邻后继，譬如“0”的紧邻后继是0’＝1，1的紧邻后继1’＝2，……这就是小学一年级学到的数的生成原则，由0开始，通过“加1”（称作“后继运算”）生成更多的自然数，任何一个自然数都是由紧邻的前一个数加1生成的，换言之，所有的自然数“加1”（“后继运算”）后就生成紧邻其后的那个数。“加1”是规律，加1得到的是“紧邻后继”。这个方法可以一直用下去，生成任何自然数，“加1”是不变的生成原则，若不怕费事，用“0”及右上肩头的“撇”能表达任何自然数。例如0’’’’’’＝（5’）’＝6。自然数原不过是首元素“0”与“加1”运算的持续不断的过程，没有结尾。前面说到“0”的孤立存在没有意义，而其紧邻后继0’＝1依赖于紧邻前继“0”，几乎所有的自然数都结合为有前、后继关系的整体，只除了“0”，它是自然数的开端，开端的含义是：“0”没有紧邻前继，也不是任何元素的紧邻后继。除了“0”，其他自然数皆具有“前继”与“后继”双重性质。         “1”的重要性远不止于此，由于“加1”的生成作用，人们喜欢把“1”作为单位基准数来看待，任何种类的量都要定义好自己的单位量。不选1当基准单位数行不行？行！但可以想见会有多麻烦。数学讲究减少麻烦，选择“1”作为公共基准数最起码的可以省却不同类量之间相互转换的麻烦。商品买卖时，货币基准值1元与大米重量基准值1公斤的关系一目了然，人人都看得懂价格标签标示的每公斤大米单价2元的含义。你不妨试试货币用“3”作基准值、大米用“5”作基准值时，价格标签应如何写？以这样的标签为依据买大米，该如何表述才能让售买双方明白呢？换算过程肯定很麻烦。用“1”作公共基准值，客观上成了“对称”的基石。         由前述所知，“对称”的等价含义就是“规律”，或者“规律亦是对称”，这两个词在本质上反映的是同一个概念——“不变性”，说白了就是变中的不变的规律。德国人在教小学一年级学生学习自然数时，就渗透了上述思想，这可以从他们设计的学具中看出（如图5）。而我们的教学则忽略了这一思想，缺乏向学生渗透自然数生成规律的教学思想和教学手段，“智慧的营养”就这样流失了，学生学得的是“营养被人为流失了的数学”。                               玩偶人被放在计算螺旋梯上，他目前站在开始的位置：他第一次走了零步并且站在零个球的位置上。（图5、6由德国施万克?英格博士提供）                                  图5

                                    玩偶人目前站在二个球的球棒上。玩偶狗被放在他的旁边（装着三个球的棒）                                      图6         注意！“紧邻”概念很重要，这意味着一个数与其后继数之间没有“加塞儿”的。这个概念不是天生的，是人们对各种“量”的数值化认识的结果。例如，由于1个苹果是苹果量的基准单位，故数苹果是：1个苹果、2个苹果、3个苹果，……而不是1个苹果、1个半苹果、2个苹果……。“1个半”不是1的紧邻后继，所以“1个半”并无相应自然数予以表达。这就是自然数，能数1个、数不了1个半，数1个半要用到分数（小数），分数与自然数有不同的生成规律。     那1斤加1两能不能等于2斤（或2两）呢？不能且不对！道理是什么？我们利用自然数可以表达1斤、2斤、3斤、……，或者表达1两、2两、3两、……但若要1斤加1两，因1两并非1斤的“紧邻后继”，也不是1斤的前继，也不会是之后的任何数的紧邻元素，实施加法运算后的结果并不能用自然数来表达，需要扩展自然数增加新的数。         基准单位可以是“个”、“公斤”、“筐”、“吨”、“车皮”、“袋”，但基准单位值一般取自然数1，以便于不同量之间的数值换算。         六、“对称”是算术的思想基础         看来，用自然数来数，规矩还不小，不能乱数。在具体的情境下，要具体量具体分析，要有量的意识及量的规定。实施加法运算，除了关系到同类量外，还要区分“名数”和“不名数”。自然数属“不名数”；1斤、1两、1米属“名数”。“名数”是“量”不是数，“量”为数所度，谓之度量，需要度量的时候先敲定计量单位，再取自然数或分数即可。对量实施算术运算要顾忌计量单位，要考虑“单名数”、“复名数”、“低级单位”、“高级单位”，要搞清“主单位”及相关进率，还要根据具体问题的要求，确定“化法”（高级单位化为低级单位）或“聚法”（低级单位聚为高级单位），否则会造成运算混乱。例如“1斤＋1斤＝2斤”，两个相加量是同类量，名数相同，且是单名数，加得的结果自然还是同类量、同名数、单名数。知道了这些情况，列算式写得数“1＋1＝2”就行了，就能保证解答的正确性。顶多在得数后面用括号括个单位名，以示结果是2（斤）。但“1斤＋1两”却是同类量异名数相加，加得的结果是同类量复名数，得1斤1两，这就不能用“1＋1＝2”这个算式。若想由斤化为两，结果取单名数“两”，则须先将1斤化为10两（高级单位1斤化为低级单位10两），两个加数的名数统一了，再运用算式“10＋1＝11”得11（两）。若加得结果要求表为斤，则须将两聚为斤，由两到斤是十进计量，即1两为1/10斤，算式是“1＋1/10＝1(1/10) ”，得1(1/10)（斤），超出了自然数集合，用到了小数或分数运算。         不同类量就不能用加法吗？非也！要视具体问题而定。同类、不同类是相对的，问1只猫加1只狗，共有几只猫几只狗，就不能用“1＋1＝2”来表示计算过程和结果。但若问有几只动物，则可以用“1＋1＝2”得2（只）动物。在计算实际问题时，要注意量的分类的相对性，如此才不会用错算式。         除了自然数以及相关的量受着对称规律的制约，算术运算本身同样受对称规律制辖，上述加法运算也遵循着对称原则：若已知A＞B,则必存在量C，使得A＝B＋C。必存在C啊！此乃由A＞B所知。         加法对称性的这个原则是可逆的：若已知量B和C，则必存在一量A，使A＝B＋C。这说明A是量B和量C之和，求量B、C之和的运算叫加法，这个原则永远可以实施。A呀，其命数要由B和C来定啊！         “数”、“量”、“运算”都遵循着某种“对称”规律，这些规律的中介就是“＝”。试想小学数学中，什么时候能离开这个符号。等号两边，无论表达如何不同，实质必是相等的、对称的。等号左右的对称关系是“强”对称，是对称的至高境界，不像疑似镜像对称，有些因不能立马验证左右重合，还不能及时断定是镜像对称的。         另外，小学数学中讲到的单位（质量单位、测量单位、数量单位）也是典型的对称概念。因为“单位”的关键性质就是“在任何地点、任何时刻都能够以所要求的精度再现”。有了单位，才能区分可加量或不可加量。         七、“对称”与语文         中小学生不仅从数学中可以学到对称思想，在语文中更有机会养成对称的意识或观念。         千言万语音平仄，五律七绝韵事歌。         五言律诗、七言律诗、五言绝句、七言绝句，都有格律要求，固定的字数和句数，必须押双句韵，讲究平仄声调，以及律诗中间四句需用对仗，等等，都是极具抽象美的对称要求，是对称美的精神体现。例如七律的仄起式为“平平仄仄平平仄，仄仄平平仄仄平”，毛主席诗词中的名句“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒”即为仄起式。地道的对称啊！         不仅如此，语文中有大量成语反映了社会生活中的对称规律，例如：有借有还、有始有终、始终如一、言行一致、你来我往、左邻右舍、一来一往、欢天喜地、礼尚往来，等等。作文写作中的首尾呼应亦是典型的对称要求。         八、“对称”与物理         前面曾提到物理学揭示了自然界的时空规律，数学教师应该掌握一些这方面的知识，这对教学素质的提高极有好处。物理学家所说的对称是指空间无论是在哪一个方向上都是一样的，即具有等向性（isotropic）；空间无论在什么地方也都是一样的，即具有均匀性（homogenous）。时间的对称性则是指时间是均匀的，过去的1小时，现在的1小时，将来的1小时，经过的时间是相同的，不会有时快，有时慢。一些物理法则如守恒律、不变原理之所以成立就是基于空间和时间的这种对称性。这保证了在北京的实验室获得的物理实验结果，只要实验条件等同，在火地岛实验室做同样的实验也会得到同样的结果，科学验证之必要、之可靠正基于此。你不会因换了个地方居住而失去了10年时间。当然，你手腕上的表也不会因你移居到火地岛而变得和挂在墙上的钟一样大。这不是很显然吗？是的，人人觉得显然！显然到人们并未发现这实际上是对称规律使然，人们对此有了认识的历史并不长，对上述事实的数学表达也是近几百年内才做到的事。这提醒了我们的教师，问题往往存在于人们从来不疑的显然之中。科学之艰难正在这里。         最近有研究说时间在未来将会完全终止，英国的巴斯克大区大学和萨拉曼卡大学的何塞·塞诸维利亚等三位教授说，时间的减速十分缓慢，以至于人类无法察觉，剑桥大学的加里·吉本斯说，时间是在宇宙大爆炸期间出现的，如果时间可以出现，那么作为相反效应，它也可能会消失。有开始、有结束，是对称关系。         九、“对称性”与“稳定性”同义         对称原来是这样的！是的，就是这样的！连小婴儿都自觉服从对称规律，他在家里需要喝奶，在托儿所也要喝奶，不会因改换了地点，而改喝啤酒。他习惯于扑在妈妈怀里喝奶，而不会扑在爸爸怀里喝奶。这不是习惯，而是遗传，是长期进化形成的本能，是人的本能之一，本能被遗传了，代代如此，这就是稳定性，这种稳定性支配着许多我们必须经历的过程。几乎所有的人都不担心早上出家门上班，待到晚上快到家时，发现家不存在了，取而代之的是王屋山 ，而这座大山早就被愚公移走了。这就是对称性使然，如果你愿意，叫稳定性也行，叫不变性也行。总之，你之所以是你，而不是72变的孙悟空，原因就在于对称性。这保证了你的父母、子女、同事、朋友不会认错了你，在同一时刻你就是你，倘若你的模样有变，那一定是岁月流逝所致，而非变成了不是你所致。         上个世纪有个杰出的德国女数学家诺特（1882－1935）曾用极通俗的话揭示了对称与大自然的关系，她说：对称对应守恒。直线运动产生的对称相当于动量守衡。换句话说，大千世界种种运动之所以产生守恒性，是因为事物内都存在着对称性。我们及我们所置身的一切由“对称”规律来支配。         好啦！“对称”不是意味着简单吗，“对称”不就是普遍性吗？“对称”是“变化”的原因，“变化”意喻的是复杂，复杂的事物服从不变的规律，而“稳定性”是“规律”的外在表现。规律性、稳定性、简单性、不变性、守恒性，通通等价于“对称性”。这提醒我们，每遇变化，要积极追寻变化的规律，变中寻不变乃为上策，此系“对称性”奥妙之所在。你有可能不习惯于前之所述，这缘于你的对于“对称”的理解很可能是基于几何直观，例如北京火车站、天安门城楼，这都是你在学习对称概念时被老师用于强化学生认知的“对称”范例。对此，你一定要再进一步，主动领悟“对称”，并将“对称”的思想渗透到自己的数学教学中，不仅是教学内容，就是教学思想和方法上，也要施以“对称”观念的影响，如此，你的学生就会因你的教学而终身获益。