ZC序列理论学习及仿真

ZC 序列和 m 序列是数字通信中常用的两种序列，在编码和解码过程中起到重要的作用。本文作为 ZC 序列学习笔记，主要研究 ZC 序列的一些性质，并通过 MATLAB 对其进行仿真验证。

ZC 序列（Zadoff-Chu 序列）是一种具有良好性质的离散序列，它是一种复数序列，在通信系统中广泛应用。它由 Zadoff 和 Chu 于 1964 年提出，是一种特殊的线性调频脉冲压缩序列。ZC 序列常用于通信系统中的同步和信道估计等方面。

ZC 序列常用于各种无线通信系统中，如 LTE（Long Term Evolution）、WiMAX（Worldwide Interoperability for Microwave Access）、GNSS（Global Navigation Satellite System）等。它们被广泛应用于信号处理和通信领域，以提高系统性能和可靠性。

ZC 序列常用于随机接入（Random Access）中以生成 preamble 序列，其表达式如下图所示： ZC 序列有两个重要的参数：

对于任意 ZC 序列，在长度 L R A L_{RA} LRA​ 和根序列 u u u 的取值确定的情况下，便可确定根序列 i i i。

注意到：每个 ZC 序列的长度为 L R A L_{RA} LRA​，而ZC序列的序列空间大小为 L R A − 1 L_{RA}-1 LRA​−1，即一共有 L R A − 1 L_{RA}-1 LRA​−1 个 ZC 序列。

我们可以发现，ZC 序列的值是一个复数，由欧拉公式 e j α = c o s ( α ) + j s i n ( α ) e^{j\alpha}=cos(\alpha)+jsin(\alpha) ejα=cos(α)+jsin(α)，即可得到该复数的实部和虚部，除此之外，还可以发现它的幅值恒为 1，其实在复数坐标系中，它都是在单位圆上。

离散时间序列的自相关函数定义为： R n = ∑ n = − ∞ ∞ x [ k ] x ∗ [ k + n ] R_{n}= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x[k]x^{*}[k+n] Rn​=n=−∞∑∞​x[k]x∗[k+n]

一个长度为 N N N 的有限长序列 x [ n ] x[n] x[n]，其 m 次循环移位公式如下： x m [ n ] = x [ ( n + m )   m o d   N ] ， m = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 x^{m}[n]=x[(n+m)\ mod\ N]，m=0,1,2,...,N-1 xm[n]=x[(n+m) mod N]，m=0,1,2,...,N−1 一共有 N N N 个循环移位序列（包括本身）。

循环自相关也叫周期自相关，长度为 N N N 的有限长序列 x [ n ] x[n] x[n] 的序列循环自相关公式为： R 0 = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] x ∗ [ n ] R_{0}=\sum^{N-1}_{n=0}x[n]x^{*}[n] R0​=n=0∑N−1​x[n]x∗[n]

归一化的循环自相关公式为： R ‾ x x [ τ ] = 1 N R x x [ τ ] \overline{R}_{xx}[\tau]=\frac{1}{N}R_{xx}[\tau] Rxx​[τ]=N1​Rxx​[τ] 显而易见， R ‾ x x [ 0 ] = 1 ， R ‾ x x [ τ ≠ 0 ] ≤ 1 \overline{R}_{xx}[0]=1，\overline{R}_{xx}[\tau \neq0]\le1 Rxx​[0]=1，Rxx​[τ=0]≤1。

循环互相关也叫周期互相关，给定长度为 N N N 的两个有限长序列 x [ n ] x[n] x[n] 和 y [ n ] y[n] y[n]，它们的循环互相关公式为： R x y = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] y ∗ [ n ] R_{xy}=\sum^{N-1}_{n=0}x[n]y^{*}[n] Rxy​=n=0∑N−1​x[n]y∗[n] 类似地，我们可以定义归一化的循环互相关公式为： R ‾ x y [ τ ] = 1 N R x y [ τ ] \overline{R}_{xy}[\tau]=\frac{1}{N}R_{xy}[\tau] Rxy​[τ]=N1​Rxy​[τ] 一般地，我们把 R ‾ x y [ 0 ] \overline{R}_{xy}[0] Rxy​[0] 称为两个序列的互相关。

任意长度的 ZC 序列幅值恒定，这也意味着功率恒定，这个好处就是射频器件不用忽大忽小的改变放大能量。为什么能够恒包络？看 ZC 序列的生成表达可以看到，本质就是一个底数为 e 的指数序列，每一个序列值代表单位圆上的一个点。每一个点值，仅是改变相位而已。复指数是一个二维 I、Q 的平面图。

令 u = 10 u=10 u=10， L R A = 839 L_{RA} = 839 LRA​=839，绘制的复平面图形如下：

一个 ZC 序列的循环自相关是最优的，因为对于所有的非零移位序列，与原序列的自相关都等于 0

ZC 序列循环移位 N，如果 N 不等于 ZC 序列的长度（N 等于序列长度，循环移位后回到起始点了），则移位后的序列和原序列不相关。啥意思？就是说虽然本是同根生，但是只要屁股挪了一下，哪怕是挪一位，那长得一点都不像没有挪前的样子。这个性质有什么好处？假如没挪前的序列表示一个 UE，挪位后的序列表示另一个 UE，那么基站用根序列与接收到的序列一相关运算，就知道有几个 UE 在向他打报告申请资源了。至于“相关”运算，可以理解为查看两条序列长得“像不像”的工具，长得“像”，相关峰值就又直又高耸入云，长得不“像”，相关峰值就软绵绵趴在地上。 ZC 序列循环移位后，原序列和移位后的相关峰值出现在移位大小的位置。

对相同长度的两个 ZC 序列，即一个序列的 root index 为 q 1 q_1 q1​，另一个序列的 root index 为 q 2 q_2 q2​，且 q 1 ≠ q 2 q_1\neq q_2 q1​=q2​，那么两个序列的归一化循环互相关值正好等于 1 / N z c 1/\sqrt{N_{zc}} 1/Nzc​ ​，这里一般假设 N z c N_{zc} Nzc​ 是质数，或者更一般地，认为 ∣ q 1 − q 2 ∣ |q_1-q_2| ∣q1​−q2​∣ 与 N z c N_{zc} Nzc​ 互质。

这个性质，简直就是为 OFDM 系统量身打造，也省去多少运算量。既可以在时域相关，也可以在频域相关，灵活决定姿势，怎么方便怎么来。

OFDM 本质是多个并行的子载波采用正交 IQ 调制，然后相加在一起，以单个子载波对应的时间周期T，离散化后，刚好是一个离散逆傅立叶变换IFFT，这是 OFDM 调制采用 IFFT 变换的本质。

对于发端，ZC 序列峰均比低（ZC 序列时频域都是 ZC 序列，且幅值恒定），有利于射频功放信号发挥最大的效率。

对于信道估计，ZC 序列幅值恒定，其图形可看作一个单位圆。

序列长度对序列的影响：ZC 序列越长，序列间的互相关性越差。在做多用户 RA 时，序列间的互相关性越差，某一序列对其他序列造成的干扰越小，从而提高序列检测的正确率。因此，ZC序列越长，检测性能越好。

MATLAB 上已经有函数专门产生 ZC 序列的函数：zadoffChuSeq 注：zadoffChuSeq 用在 R2019a 版本及以后，之前的版本使用 lteZadoffChuSeq 函数，这两个函数只是名字发生了变化。

使用方法：

例如我们生成长度为 139，根序列号为 25 的 Zadoff-Chu 序列，并输出序列的离散复数点、绘制复平面散点图及模值：

对应文末代码 zc_generator.m

仿真结果如下：

生成的输出序列的离散复数点如下：

对应的复平面上的散点图见下图，为单位圆：

对应的模值如下图，恒定为 1

在对某一个 ZC 序列进行循环移位时，可使用 MATLAB 自带 circshift() 函数 语法：

说明：

生成长度为 11，根序列号为 1 的 Zadoff-Chu 序列，循环移位长度为 3

对应文末代码 cycle_shift.m

仿真运行时打断点可以看到原 Seq1 和移位后的 Seq2

我们还是使用上面生成长度为 139，根序列号为 25 的 Zadoff-Chu 序列，绘制 ZC 序列的自相关函数

对应文末代码 autocorrelation.m

仿真结果如下： 可以看到 ZC 序列具有集中的主瓣。

自相关的结果为 2N-1 个点，即 2 * 139 - 1 = 277 个点，关于 N=139 对称（这里从 -138 开始，因此关于 0 对称）。

有关 MATLAB 中自相关函数可以参考这个博客：一个例子学会自相关互相关的计算

对应文末代码 cyclic_autocorrelation.m

仿真结果如下： 从仿真结果可以看出，ZC 序列具有良好的循环自相关特性且自相关峰值尖锐，对于任意 ZC 序列与其循环移位 a 位后的序列互不相关 a ≠ 0 a\neq 0 a=0；

从图中可以看到 ZC 序列循环移位后，原序列和移位后的相关峰值出现在移位大小的位置。

由此可得下面结论： ZC 序列循环移位 N 后，原序列只与移位后的序列得良好的相关峰值且峰值在N处，其它位置的相关峰值为 0，这也是 preamble 检测的理论依据。

如果不同根产生的 ZC 序列进行相关运算会发生什么情况呢？下面我们构造两个根为 11 和 7 并且长度 N = 67 的 ZC 序列。

对应文末代码 cyclic_cross_correlation_1.m

两个不同根序列相关运算后的结果如下图：

因此可得结论：若 N N N 与 ∣ u 1 − u 2 ∣ |u_1-u_2| ∣u1​−u2​∣ 互质，则互相关函数 ∣ R u 1 u 2 ∣ = N |R_{u_1u_2}|=\sqrt{N} ∣Ru1​u2​​∣=N ​

我们从图上看出，对于不同根的序列再进行相关运算之后，不会产生像上面相同根的序列那样会产生又高又细的相关峰。

下面我们再构造两个根为 17 和 8 并且长度 N = 63 的 ZC 序列。

对应文末代码 cyclic_cross_correlation_2.m

两个不同根序列相关运算后的结果如下图：

因此可得结论：若 N 为奇数，假设 N N N 与 ∣ u 1 − u 2 ∣ |u_1-u_2| ∣u1​−u2​∣ 有最大公约数 δ ≠ \delta \neq δ=，则互相关函数 ∣ R u 1 u 2 = δ N ∣ |R_{u_1u_2}=\sqrt{\delta N}| ∣Ru1​u2​​=δN ​∣ ∣ R u 1 u 2 ∣ = { δ N n = k δ 0 n ≠ k δ , k = 1 , 2 , . . . , N δ |R_{u_1u_2}|= \begin{cases} \sqrt{\delta N}& {n=k\delta}\\ 0& {n\neq k\delta} \end{cases},k=1,2,...,\frac{N}{\delta} ∣Ru1​u2​​∣={δN ​0​n=kδn=kδ​,k=1,2,...,δN​

上面我们说过：对相同长度的两个 ZC 序列，即一个序列的 root index 为 q 1 q_1 q1​，另一个序列的 root index 为 q 2 q_2 q2​，且 q 1 ≠ q 2 q_1\neq q_2 q1​=q2​，那么两个序列的归一化循环互相关值正好等于 1 / N z c 1/\sqrt{N_{zc}} 1/Nzc​ ​，这里一般假设 N z c N_{zc} Nzc​ 是质数，或者更一般地，认为 ∣ q 1 − q 2 ∣ |q_1-q_2| ∣q1​−q2​∣ 与 N z c N_{zc} Nzc​ 互质。

这里我们进行仿真证明一下：

对应文末代码 normalized_cycle_cross_correlation_value.m

仿真图如下： 验证了我们上面所说的结论：两个序列的归一化循环互相关值正好等于 1 / N z c = 1 / 11 ≈ 0.3015 1/\sqrt{N_{zc}}=1/\sqrt{11}\approx0.3015 1/Nzc​ ​=1/11 ​≈0.3015

这里介绍一下对 ZC 序列做完傅里叶变换后，再去分析复平面散点图及循环自相关特性

对应文末代码 zc_fft.m

仿真结果如下： 从上图仿真可以看出，结果显而易见，经过傅里叶变换之后的序列仍然具有同样的特性。

对应文末代码 low_peak_to_average_ratio_characteristic.m

仿真结果如下： 可以看到，ZC 序列峰均比较低，从而有利于射频功放信号发挥最大的效率。

参考文献：5GNR漫谈13：Zadoff –Chu（ZC）序列性质

链接：ZC序列理论学习及仿真

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