求解 PDE 并计算偏导数

要跟踪物理常量，请创建一个结构体数组，其中每个常量都有一个对应的字段。当您稍后为方程、初始条件和边界条件定义函数时，可以将此结构体作为额外的参量传入，以便函数可以访问常量。

在编写方程代码之前，您需要确保它的形式符合 pdepe 求解器的要求：

c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x-m∂∂x(xmf(x,t,u,∂u∂x))+s(x,t,u,∂u∂x).

此形式的 PDE 为

∂u∂t=x0 ∂∂x(x0 D∂u∂x)-DηL∂u∂x.

因此，方程中的系数的值是

m=0（没有角对称性的笛卡尔坐标）

c(x,t,u,∂u∂x)=1

f(x,t,u,∂u∂x)=D∂u∂x

s(x,t,u,∂u∂x)=-DηL∂u∂x

现在，您可以创建一个函数以编写方程代码。该函数应具有签名 [c,f,s] = transistorPDE(x,t,u,dudx,C)：

x 是独立的空间变量。

t 是独立的时间变量。

u 是关于 x 和 t 微分的因变量。

dudx 是偏空间导数 ∂u/∂x。

C 是包含物理常量的额外输入。

输出 c、f 和 s 对应于 pdepe 所需的标准 PDE 形式中的系数。

因此，此示例中的方程可以由以下函数表示：

（注意：所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。）

接下来，编写一个返回初始条件的函数。初始条件应用在第一个时间值处，并为 x 的任何值提供 u(x,t0) 的值。使用函数签名 u0 = transistorIC(x,C) 编写函数。

初始条件为

u(x,0)=K LD(1-e-η(1-x/L)η).

对应的函数是

现在，编写一个计算边界条件 u(0,t)=u(1,t)=0 的函数。对于在区间 a≤x≤b 上提出的问题，边界条件应用于所有 t 以及 x=a 或 x=b。求解器所需的边界条件的标准形式是

p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,∂u∂x)=0.

以这种形式编写的此问题的边界条件是

- 对于 x=0，方程为 u+0⋅d∂u∂x=0. 系数为：

pL(x,t,u)=u,

qL(x,t)=0.

- 同样，对于 x=1，方程为 u+0⋅d∂u∂x=0. 系数为：

pR(x,t,u)=u,

qR(x,t)=0.

边界函数应使用函数签名 [pl,ql,pr,qr] = transistorBC(xl,ul,xr,ur,t)：

对于左边界，输入 xl 和 ul 对应于 x 和 u。

对于右边界，输入 xr 和 ur 对应于 x 和 u。

t 是独立的时间变量。

对于左边界，输出 pl 和 ql 对应于 pL(x,t,u) 和 qL(x,t)（对于此问题，x=0）。

对于右边界，输出 pr 和 qr 对应于 pR(x,t,u) 和 qR(x,t)（对于此问题，x=1）。

此示例中的边界条件由以下函数表示：

解网格定义 x 和 t 的值，求解器基于它们来计算解。由于此问题的解变化很快，请使用一个相对精细的网格，其中包含 50 个位于 0≤x≤L 区间中的空间点和 50 个位于 0≤t≤1 区间中的时间点。

最后，使用对称性值 m、PDE 方程、初始条件、边界条件以及 x 和 t 的网格来求解方程。由于 pdepe 需要 PDE 函数使用四个输入、初始条件函数使用一个输入，请创建函数句柄，将由物理常量组成的结构体作为额外输入来传入。

pdepe 以三维数组 sol 形式返回解，其中 sol(i,j,k) 是在 t(i) 和 x(j) 处计算的解 uk 的第 k 个分量的逼近值。对于此问题，u 只有一个分量，但通常您可以使用命令 u = sol(:,:,k) 提取第 k 个解分量。

创建在 x 和 t 的所选网格点上绘制的解 u 的曲面图。

现在，只需绘制 x 和 u 即可获得曲面图中等高线的侧视图。

使用 u(x,t) 的级数解，发射极放电电流可以表示为无穷级数 [1]：

I(t)=2π2Ip(1-e-ηη)∑n=1∞n2n2π2+η2/4e-dtL2(n2π2+η2/4).

编写一个函数，以使用级数中的 40 个项计算 I(t) 的解析解。唯一的变量是时间，但要将常量结构体指定为函数的另一个输入。

使用 pdepe 计算的 u(x,t) 的数值解，您还可以通过以下方程计算在 x=0 处的 I(t) 的数值逼近

I(t)=[IpDK∂∂xu(x,t)]x=0.

计算 I(t) 的解析解和数值解，并对结果绘图。使用 pdeval 计算 ∂u/∂x 在 x=0 处的值。

结果相当吻合。通过使用更精细的解网格，您可以进一步改进 pdepe 得出的数值结果。

此处列出 PDE 求解器 pdepe 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

[1] Zachmanoglou, E.C. and D.L. Thoe.Introduction to Partial Differential Equations with Applications.Dover, New York, 1986.