假设检验

假设检验(hypothesis testing)，又称统计假设检验，是用来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。

一种新上市的神奇药物，对治疗打鼾有神奇的功效，断言他们的药物治愈率达到90%，某医生不太相信这个数据，因此随机抽取了15名患者，给他们使用这种药物，结果，其中11名患者被治愈，4名患者未被治愈。此时我们要判断是制药公司夸大了治愈率，还是医生的抽样样本存在误差导致的，就需要运用到假设检验来得到答案。

【1】确定要进行检验的假设

【2】选择检验统计量

【3】确定用于做决策的拒绝域

【4】求出检验统计量的P值

【5】查看样本结果是否位于拒绝域内

【6】做出决策

原假设与备选假设

根据制药公司的断言，新上市的药物对打鼾的治愈率为90%，除非我们有充分的证据进行反驳，否则就要接受这个结论。

我们所要检验的这个结论就被称为原假设，用H0表示。

医生认为制药公司的断言过于理想，不太真实。医生认为治愈率低于90%

与原假设对立的断言被称为备选假设，用H1表示。如果有足够的证据拒绝H0，我们就接受H1

注：在进行假设检验时，你假定原假设为真，如果有足够的证据反驳原假设，则拒绝原假设，接受备选假设。（就像是怀疑某个嫌疑人有罪，原假设就是这个嫌疑人无罪，直到搜集到足够多的证据能反驳原假设，嫌疑人有罪这个备选假设才成立。）

确定检验内容以后，就需要通过某些手段进行检验，这可以借助检验统计量实现。

我们做假设检验的目的是检验药物的治愈率是否达到90%以上，为此可以根据制药公司的说法查看概率分布，看看抽样中的成功次数是否显著。

如果用X表示样本人数，样本中共有15名患者，成功概率为90%，由于X符合二项式分布，于是检验统计量为：

为求拒绝域，首先需要定下“显著性水平”。

显著性水平所度量的是一种愿望，即希望样本结果的不可能程度达到多大时，就拒绝原假设

能够拒绝原假设的检验统计量的所有可能取值的集合，称为拒绝域；不能够拒绝原假设的检验统计量的所有可能取值的集合称为接受域；根据给定的显著性水平确定的拒绝域的边界值，称为临界值c。

假设我们以5%为显著性水平检验只要公司的断言，说明我们选取的拒绝域应使得“患者治愈人数小于c”的概率小于0.05，即概率分布最低端的5%的部分。

如果治愈者人数落在接受域的区间里这个判断，我们有95%的把握，H0为真

如果治愈者人数落在拒绝域的区间里，我们拒绝原假设H0。

显著性水平用α表示，α越小，为了拒绝H0，原假设成立条件下，得到样本结果的概率越低

显著性水平一般有： α = （0.1%，1%，5%）

如果用X表示治愈的鼻鼾患者数目，我们将拒绝域定义为能令下列不等式成立的一些数值：

单尾检验与双尾检验

在构建拒绝域的时候，还要明白一件事，所构建的是“单尾检验”还是“双尾检验”

单尾检验分为左尾和右尾

判断依据：

【左尾】

如果备选假设包含符号，则使用右尾，此时拒绝域位于数据的右端

双尾检验

即将拒绝域一分为二位于数据两侧，两侧各占α/2，总和为α

判断依据：

如果备选假设包含≠符号，则使用双尾检验

对于本案例中，如果备选假设为p≠0.9，则我们应使用双尾检验，查看治愈人数是否显著多于90%和显著少于90%。

P值即≤拒绝域方向上的一个样本数值的概率

在本案例中，治愈人数为11人，拒绝域位于左端，P值为P（X≤11），其中X为样本中的治愈人数分布。由于显著性水平为5%，说明如果P（X≤11）5且nq大于5，这里用正态分布近似替代二项式分布计算

正态分布为：X~N（np,npq）——X~N（90，9）

标准化：Z=X-μ / σ = 80-90/√9 = -10/3 =-3.33（保留2位小数）

查Z表P值=P(Z