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必须明确指出的是点\(\mathbf{Q}\)必须分别从左右两边逼近于点P并且过程中的产生的割线\(\mathbf{\text{PQ}}\)、\(\mathbf{P}\mathbf{Q}^{\mathbf{'}}\)、\(\mathbf{\text{PQ}}^{\mathbf{''}}\)…都要逼近于同样的极限位置才能说曲线在P点有切线[2]。如何判断Q分别从两边向P逼近时产生的割线的极限位置是否相同呢?当然不能凭眼睛看一看就说位置相同,我们可以先计算Q从左边向P逼近时产生的割线的斜率的极限,然后再对比Q从右边向P逼近时产生的割线的斜率的极限,若二者相等,那么就可以断定Q分别从两边向P逼近时产生的割线的极限位置相同。通过这个判定条件我们可以知道一些有尖角的曲线在尖角处没有切线,比如y=|x|在(0,0)处就没有切线(左边的割线斜率极限是-1,右边的是1,二者不等),下图的曲线在P处(尖角)也同样没有切线。
现在我们对比一下本文中切线的定义和文章开头提到的圆或椭圆的切线定义——不难发现,本文中切线的定义除了适用于给圆或椭圆定义切线外,还适用于给很多别的曲线定义切线,也就是说本文中切线的定义具有更广泛的意义,在接受了这个更广义的切线定义后我们便不再拘泥于中学时期的切线定义,下面两图中的水平直线均为曲线在P点处的切线,并且切线和曲线不再只有一个交点,另外图中的切线也穿过了曲线,有些书上介绍初等的切线定义时要求切线不能穿过曲线,但在广义切线定义中便再无此要求[3]。
Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 4,Section 1 ↩︎ Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P156 ↩︎ Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 4,Section 2 ↩︎ Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P156 ↩︎ Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P415 ↩︎ Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Section 3.6, Part b ↩︎ Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P418 ↩︎ |
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