二、信号分解

        经验模态分解法(EMD)，基于瞬时频率、本征模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)的概念，能够将信号分解为若干个IMF分量，每个IMF表征信号的局部特征。依据的是数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，无需预先设定任何基函数，因此具有自适应性。

为什么要进行信号的解析？

采集的信号一般为时间尺度数据，要分析其特性一般把时间尺度变为频率尺度即信号的频率分析。如果把信号直接进行傅里叶变换后会使频域变为正频域和负频域（负频域现实世界是不存在的，只存在数学推导中），这就使得变换后的频域（正频域）缺失不完整，从而导致信号特性的缺失。

公式推导：

其中sgn(f)为符号函数

Hilbert变换可以看成是将原始信号通过一个滤波器，或者一个系统，这个系统的冲击响应为h(t)。

为什么使用瞬时频率？

在传统频谱分析中，频率指是以傅里叶变换为基础的与时间无关的量：频率f或角频率w ，其实质是表示信号在一段时间内的总体特征，对于一般的平稳信号，传统的频域分析方法是有效的。但是对于实际中存在的非平稳信号，其频率是随时间变化的，此时傅里叶频率不再适合，为了表征信号的局部特性就需要引进瞬时频率的概念。

推导公式：

备注：不是任何解析信号都可以通过该定义得到有意义的瞬时频率，要得到有意义的瞬时频率，原始信号就必须满足严格的条件。

        瞬时频率是时间t的单值函数，即每个时间t只有一个频率与之唯一对应，因此它只能表示单分量的信号，对于由多分量组合而成的信号，瞬时频率是没有实际的物理意义的，但在很多情况下是很难判断一个信号是单分量还是多分量，所以通常把“窄带信号” 作为信号选择的标准，使之符合瞬时频率的定义。

本征模式函数(Intrinsic Mode Function，IMF)的新概念，基于这类函数的局部特性，使函数的任何一点瞬时频率都有意义。

一个固有模式函数必须满足以下两个条件：

（1）整个数据长度中极值点和过零点的数目必须相等或至多相差一个；

（2）在研究对象的时域中，由三次样条拟合最大值和最小值点确定的上、下包络线的平均值是0。

通常情况下，实际信号都是复杂信号并不满足上述条件。因此，Huang进行了以下的假设：

（1）任何信号都是由若干本征模态函数组成的；

（2）各个本征模态函数即可是线性的，也可是非线性的，各本征模态函数的局部零点数和极值点数相同，同时上下包络关于时间轴局部对称；

（3）在任何时候，一个信号都可以包含若干本征模态函数，若各模态函数之间相互混叠，就组成了复合信号。

1、找到原信号x(t)的所有极大值点，通过三次样条函数拟合出极大值包络线；同理，找到原信号x(t)的所有极小值点，通过三次样条函数拟合出信号的极小值包络线 。注意：所有的极值点必须保证被上部和下部包络线包含。

2、计算上、下包络的平均值m1(t)：                                            

3、将原信号序列减去m1(t)就得到一个去掉低频的新信号：

 一般不是一个平稳信号，不满足IMF定义的两个条件，重复上述过程，假定经过k次之后（k一般小于10） 满足IMF的定义，则原信号x(t)的一阶IMF分量为：

用原信号x(t)减去，得到一个去掉高频成分的新信号：

 对重复得到的过程，得到第二个IMF分量，如此反复进行，一直到第n阶IMF分量或其余量小于预设值；或当残余分量是单调函数或常量时，EMD分解过程停止。

最后， 原始信号经EMD分解，可以表示为：

在实际情况中，上下包络的均值无法为零，通常当满足下面的式子时，就认为包络的均值满足IMF的均值为零的条件：

 当标准差SD的值在0.2和0.3之间，这时停止筛选是最合理的。

（1）初始化：r(t)=x(t)，i=0，k=1，终止阈值条件为SD