《信号与系统学习笔记》

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、z变换

1、单位脉冲响应为h[n]的离散时间线性时不变系统对复指数输入的响应应y[n]为

其中，

若z=，这里w为实数(即|z|=1)，则式(10.2)的求和式就是h[n]的离散时间博里叶变换。在更为一般的情况下，当|z|不限制为1的时候，式(10.2)就称为h[n]的z变换。

2、一个离散时间信号x[n]的z变换为

其中z是一个复变量。有时为了方便，也将x[n]的z变换写成Z{x[n]}，而x[n]和它的z变换之间的关系记为

3、为了说明z变换和离散时间博里叶变换之间的关系，现将复变量z表示成极坐标形式为

用r表示z的模，而用w表示它的相角。利用r和w，式(10.3)变成

或等效为

由式(10.6)可知，就是序列x[n]乘以实指数够的博里叶变换，即

指数加权可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1.特别注意到，若r=1，或等效为|z|=1，时(10.3)就变为博里叶变换，即

4、在z变换中是当变换变量z的模为1，即z=时，z变换就演变为博里叶变换。于是，博里叶变换就成为在复数z中，半径为的圆上的z变换，如图10.1所示。

在z平面上，这个圆称为单位圆。

5、为了使z变换收敛，要求x[n]的博里叶变换收敛。对于任何一个具体的序列来说，可以想到对某些r值，其博里叶变换收敛，而对另一些r值来说不收敛。一般来说，对于某一序列的z变换，存在着某一个z值得范围，对该范围内的z，X(z)收敛。这些值得范围称为收敛域。如果收敛域包括单位圆，则博里叶变换叶收敛。

1）z变换的表述即要求它的代数表示，有要求相应的收敛域。

2）、只要x[n]是实指数或复指数的线性组合，X(z)就一定是有理的。关于极点和零点，总是利用z多项式表示的分母和分子多项式的根。若分子的阶次超过分母的阶次，那么无限远点就有极点，若分子的阶次小于分母的阶次，那么无限远点就有零点。

二、z变换的收敛域

1、性质一；X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

2、性质二；收敛域内不包含任何极点。

3、性质三；如果x[n]是有限长序列，那么收敛域就是一整个z平面，可能除去z=0和/或z=∞。

4、性质四；如果x[n]是一个右边序列，并且|z|=，的圆位于收敛域内，那么|z|>的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

5、性质五；如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=，的圆位于收敛域内，那么0