估值调整

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引言

本文是金融工程系列的第九篇

金融产品的估值调整分两类：

本帖讲凸性调整，先介绍什么是凸性，再定性分析得到远期和期货之间的差异，最后定量分析计算各类期货的凸性调整项。

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凸性

在利率市场要了解凸性，我们必须了解欧洲美元期货（Eurodollar Futures, EDF）市场与远期利率协议（Forward Rate Agreement, FRA）市场之间的相似之处。这两个市场都是高流动性的大市场，对短期利率定价有很大的影响。

凸性偏差（convexity bias）的产生的本质就是期货市场与远期市场之间的收益差异，如下图所示。

EDF 合约的支付函数为 Nfut ×(1 – 0.25F)，其中 Nfut 是本金1,000,000 美元，F 是期货利率。当 F 上升 1 个基点（basis point）即 0.01%，那么 EDF 合约价格变动 –0.25Nfut×∆F = -25美元，EDF 合约买方像卖方支付25 美元。

见上面左图，EDF 合约价格和 EDF 基础利率有线性关系，即对于 1 单位的利率变动，价格变动是常数，具体来说

由于有折现影响，FRA 合约价格和利率没有这样的线性关系，而是呈现上面右图的凸性关系。期货利率和远期利率的关系可参考〖变量计算〗一贴。

弄清了凸性偏差产生的原因后，接着就要调整凸性，即做凸性调整（convexity adjustment），有定性（qualitive）和定量（quantitative）两种方法。

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定性方法

定义在 t 时点观测到 T 开始 U 结束的远期利率 L 和期货利率 F：

当 t = 0 时，远期和期货利率之间的差异为

一般折现因子 D(0,U) 和利率 L(T) 成反比，因此两者之间的协方差小于零，因此期货利率 F(0) 大于远期利率 L(0)。证明如下：

我们可写出

除了远期和期货利率之间的有以上关系，远期和期货价格之间也有类似关系，如下

这些价格可以是股票或者商品价格，到期日只有一个 T，上面关系可转换成下面的数学表达式

有时候，在股票或商品市场上假设利率不是随机的，那么折现因子也不是随机的，那么折现因子和即期价格的协方差为零，这时远期价格等于期货价格。证明如下：

一般折现因子 D(0,T) 和即期价格 S(T) 成正比，因此两者之间的协方差大于零，因此期货价格 Fut(0,T) 小于远期价格 Fwd(0, T)。

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定量方法

3.1

理论推导

定性方法可以大概分析出不同资产类别下面的凸性调整项（CA 项）的符号，要精确计算其值还需要定量方法。以利率类举例，计算在 Q-测度下的远期利率：

接着就是用各种利率模型（Black, Hull-White (HW) 或者 HJM）来推导 P(T,U) 了。

以 HW 模型举例，在 Q-测度下，短利率（short rate）r(t) 服从以下随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）:

其中 κ(t) 是均值回归速率，σr(t) 是短利率的波动率，而 θ(t) 是均值水平。为了能使 HW 模型计算出来的折现因子和市场曲线匹配，θ(t) 应该被校正为

其中 f(0, t) 是瞬时远期利率，表达式为 f(0,t) = -∂lnP(0, t)/∂t，本帖后面详细讲解如何计算它。

上面 θ(t) 太过于复杂了，通过定义 x(t) = r(t) – f(0, t)，我们可在后面去掉它。这时推出 x(t) 的随机微分方程如下：

推导出 HW 模型下的零息债价格 P(t,T) 为

上面结果是 Piterbarg 和 Andersen在【1】推导出来的，注意模型参数是和时间相关的。如果假设模型参数是常数的话，即 κ 和 σr，我们可以得到Brigo 和 Mercurio 在【2】推导出来的结果。

对比 Piterbarg 和 Andersen 的版本和 Brigo 和 Mercurio 的版本，我们发现

个人更喜欢 Piterbarg 和 Andersen 的版本，因为它更加通用和一致，尤其在高维的情况下。本小节为了符号简洁，便采用常参数，即用 Brigo 和 Mercurio 的版本。这时短利率 r(T) 的表达式化简如下：

根据随机微积分的性质，不难得到 r(T) 的均值和方差，以及 r(T) 和 r(U) 的协方差：

有了以上各种 r(T) 的统计量，我们可以计算在 Q-测度下的远期利率了。

最后一步我们用了性质：当 X 是正态变量时

E[exp(aX)]= exp(aE[X]+0.5a2Var[X])

上述公式适用于各类的基准利率，当

3.2

具体案例

IBOR 期货

IBOR 期货的基准利率一般都是 3 个月的 IBOR，用 L(T, T, U) 表示，其中 U 和 T 相差 3 个月。该利率在 Q-测度下的期望为

其中

需要注意的是，虽然 T 和 U 出现多次，但在 δ(T, U) 遵循 ACT/360 惯例，而在其它地方遵循 ACT/365 惯例。

在上式中，假设市场曲线零息利率 R(0, t) 是用一元三次条方法来插值，我们可以计算出 f(0, t)，首先根据定义

假设 R(0, t) 的期限结构表示为：(t1,R1)、…、(tm,Rm)。对任一时点 t 属于 [tk-1, tk]，曲线上的零息利率为：

其中 c3,k, c2,k, c1,k, c0,k 为 [tk-1, tk] 区间上三次多项式的系数。根据上式可计算 R(0, t) 的一阶导，如下：

这是我们可以任意时点 t 上的 f(0, t) 值了。

1 个月 OIS 期货

1 个月 OIS 期货包括 SOFR-1M 和 FedFund-1M期货，其支付基于在参考月（reference month）中每个工作日上隔夜利率的算术平均，将其平均利率定义为 R：

其中

当估值日为 ts，考虑历史定盘，利率 R 在 Q-测度下的期望为

注意 δi 是从 ti 到 ti+1遵循 ACT/360 惯例计算出来的年限，在本例中等于1/360。

3 个月 OIS 期货

3 个月 OIS 期货包括 SOFR-3M, EONIA-3M 和 SONIA-3M 期货，其支付基于在参考季度（reference quarter）中每个工作日上隔夜利率的几何平均，将其平均利率定义为 R：

其中

当估值日为 ts，考虑历史定盘，利率 R 在 Q-测度下的期望为

其中

RIBA 期货

RIBA 期货在斯特哥尔摩交易所交易的期限为 3 个月的期货，其支付基于在参考季度中每周利率的几何平均，将其平均利率定义为 R：

其中

当估值日为 ts，考虑历史定盘，利率 R 在 Q-测度下的期望为

其中

3.3

模型校正

HW 模型参数校正有两种方法：

如果基准利率（如 USD LIBOR 和 EUR EURIBOR 等等）有 Cap 和 Swaption 市场，那么用隐含波动率来校正参数。用 ATM Cap 波动率举例，最小化一系列 ATM Cap 的市场价格和模型价格之间的差异，来找出“最优” κ 和 σr

如果基准利率（如 SOFR OIS 和 FedFund OIS 等等）没有 Cap 和 Swaption 市场，那么用历史波动率来校正参数。首先推导出 HW 模型下零息利率的波动率 σHW(t, T) 表达式

再用零息利率的一年历史数据（260 工作日，t = -260, …, -1）上每个标准期限 {T1,…, Tk, …, TK} 上的值，计算历史波动率

最小化一系列标准期限的历史波动率和模型波动率之间的差异，来找出“最优” κ 和 σr

[1] Interest Rate Modeling. Volume 2: TermStructure Models, Chapter 10

Andersen L.B.G., Piterbarg V.V.

[2] Interest Rate Models – Theory and Practice,with Smile, Inflation and Credit, Chapter 3

Damiano Brigo, Fabio Mercurio

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